Chủ đề này có 8 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho các số thực dương $a,b,c$ sau cho $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq 1$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho các số thực dương $a,b,c$ sau cho $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq 1$

Bạn chứng minh $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ rồi thay vào BĐT là được

Mình làm mẫu 1 cái nhé: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{a^2b+ab^2+1}=\frac{c}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 16-05-2015 - 18:28

[hoctrocuaHolmes]

Cho các số thực dương $a,b,c$ sau cho $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq 1$

 

Bạn chứng minh $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ rồi thay vào BĐT là được

Em giải luôn cho hoàn chỉnh nhé

Ta có 

$a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)\Leftrightarrow (a^{5}-a^{3}b^{2})+(b^{5}-a^{2}b^{3})\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$ (luôn đúng)

Thay vào BDT đã cho ta có

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq \sum \frac{ab}{a^{2}b^{2}(a+b)+ab}=\sum$$\frac{1}{ab(a+b+c)}$

=$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 16-05-2015 - 18:32

[yeudiendanlamlam]

Bạn chứng minh $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ rồi thay vào BĐT là được

Mình làm mẫu 1 cái nhé: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\frac{1}{a^2b+ab^2+1}=\frac{c}{a+b+c}$

bạn Hoang Nhat Tuan ơi chỉ mình cách chứng minh chỗ này với

[yeudiendanlamlam]

Em giải luôn cho hoàn chỉnh nhé

Ta có 

$a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$$\Leftrightarrow (a^{5}-a^{3}b^{2})+(b^{5}-a^{2}b^{3})\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$ (luôn đúng)

Thay vào BDT đã cho ta có

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq \sum \frac{ab}{a^{2}b^{2}(a+b)+ab}=\sum$$\frac{1}{ab(a+b+c)}$

=$\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}=1$ (đpcm)

bạn votruc ơi sao bạn biết bất đẳng thức này mà thay vào thế! chỉ mình từng bước tìm được $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeudiendanlamlam: 16-05-2015 - 18:59

[hoctrocuaHolmes]

bạn votruc ơi sao bạn biết bất đẳng thức này mà thay vào thế! chỉ mình từng bước tìm được $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ đi

Cái này là do giải nhiều BDT thì biết thôi  .Với lại nếu bạn đọc TTT2 số 5+6 phần giải toán qua thư cũng có chứng minh BDT  $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 16-05-2015 - 19:02

[Hoang Nhat Tuan]

bạn votruc ơi sao bạn biết bất đẳng thức này mà thay vào thế! chỉ mình từng bước tìm được $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ đi

Bạn nên học phương pháp làm trội để chứng minh bất đẳng thức 

[tonarinototoro]

bạn votruc ơi sao bạn biết bất đẳng thức này mà thay vào thế! chỉ mình từng bước tìm được $a^5+b^5\geq a^2b^2(a+b)$ đi

BĐT này có dạng tổng quát là $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+a^{n}b^{m}$

cm thì biến đổi tương đương có $a^{m+n}+b^{m+n}-a^{m}b^{n}-a^{n}b^{m}=a^{m}\left ( a^{n}-b^{n} \right )-b^{m}\left ( a^{n}-b^{n} \right )=\left ( a-b \right )^{2}.A\geq 0$

với A >0

[marcoreus101]

Đây là bài trong IMO Shortlist 1996