Chủ đề này có 5 trả lời

[congdaoduy9a]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c+2=abc$ .Tìm MIN $\sum \frac{1}{a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 17-05-2015 - 22:21

[hoanglong2k]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c+2=abc$ .Tìm MAX $\sum \frac{1}{a}$

Từ giả thiết bài toán sẽ tồn tại $x,y,z>0$ sao cho 

   $a=\frac{y+z}{x},b=\frac{x+z}{y},c=\frac{x+y}{z}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 17-05-2015 - 22:04

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a+b+c+2=abc$ .Tìm MAX $\sum \frac{1}{a}$

Đầu tiên từ $a+b+c+2=abc$ 

Ta có:$abc=a+b+c+2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1=2(a+b+c)+ab+bc+ac +3$
$\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=(a+1)(b+1)+(a+1)(c+1)+(b+1)(c+1)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$
Vậy,nếu đặt $x=\frac{1}{1+a},y=\frac{1}{1+b},z=\frac{1}{1+c}$

$\Rightarrow x+y+z=1$ và $\left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{x} & & & \\ b=\frac{x+z}{y} & & & \\ c=\frac{x+y}{z} & & & \end{matrix}\right.$

Khi đó:$\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{x}{y+z}\geq \frac{3}{2}$

Spoiler

Mình mới tìm được MIN thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 17-05-2015 - 22:27

[Hoang Long Le]

Đầu tiên từ $a+b+c+2=abc$ 

Ta có:$abc=a+b+c+2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1=2(a+b+c)+ab+bc+ac +3$
$\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=(a+1)(b+1)+(a+1)(c+1)+(b+1)(c+1)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$
Vậy,nếu đặt $x=\frac{1}{1+a},y=\frac{1}{1+b},z=\frac{1}{1+c}$

$\Rightarrow x+y+z=1$ và $\left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{x} & & & \\ b=\frac{x+z}{y} & & & \\ c=\frac{x+y}{z} & & & \end{matrix}\right.$

Khi đó:$\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{x+y}{z}\geq 6$

Spoiler

Mình mới tìm được MIN thôi

Sai, min phải là $\frac{3}{2}$ mới đúng, bạn xem lại dòng cuối đi

@Dinh Xuan Hung:Xin lỗi mình ghi nhầm.Mình đã sửa lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 17-05-2015 - 22:21

[congdaoduy9a]

Thực ra là MIN mình đánh nhầm  $\sum \frac{x}{x+y}$ (Hùng à ) . Thứ lỗi nhưng like cũng hết nhọ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congdaoduy9a: 17-05-2015 - 22:24

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Mình có cách này:

Từ giả thiết ta có:

$3=3(\sum \frac{1}{ab})+\frac{6}{abc}\leq (\sum \frac{1}{a})^{2}+\frac{6(\sum \frac{1}{a})^{3}}{3^{3}}$

Đặt $\sum \frac{1}{a}= t\Rightarrow 3\leq t^{2}+\frac{2t^{3}}{9}\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi$a=b=c=2$