Cho $a,b,c>0$ sao cho $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng $\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\geq abc$
Cho $a,b,c>0$ sao cho $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{2a^2+bc}\geq abc$
#1
Đã gửi 18-05-2015 - 19:44
#2
Đã gửi 18-05-2015 - 20:01
$VT=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}=\frac{1}{2a+\frac{3}{a}-b-c}+\frac{1}{2b+\frac{3}{b}-c-a}+\frac{1}{2c+\frac{3}{c}-a-b} \geq \frac{(1+1+1)^2}{\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}}=\frac{3}{\frac{ab+bc+ca}{abc}}=abc$
- nguyenhongsonk612, Trung Gauss, arsfanfc và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 18-05-2015 - 21:13
Đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ thì $x^2+y^2+z^2=3$.Ta cần chứng minh:
$\sum \frac{1}{2(xy)^2+z^2}\geq 1$
Cái này luôn đúng theo AM-GM
- grigoriperelmanlapdi yêu thích
#4
Đã gửi 19-05-2015 - 18:41
Đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ thì $x^2+y^2+z^2=3$.Ta cần chứng minh:
$\sum$$\frac{1}{2(xy)^2+z^2}\geq 1$
Cái này luôn đúng theo AM-GM
mình làm mãi mà chẳng ra được cái này ,bạn giúp mình với
#5
Đã gửi 19-05-2015 - 18:55
mình làm mãi mà chẳng ra được cái này ,bạn giúp mình với
$\sum \frac{1}{2(xy)^{2}+z^{2}}\geq \frac{9}{2\sum (xy)^{2}+\sum x^{2}}=\frac{9}{2\sum (xy)^{2}+3}\geq \frac{9}{\frac{2}{3}(\sum x^{2})^{2}+3}=1$
- longatk08 và grigoriperelmanlapdi thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -
#6
Đã gửi 19-05-2015 - 20:23
$\sum \frac{1}{2(xy)^{2}+z^{2}}\geq \frac{9}{2\sum (xy)^{2}+\sum x^{2}}=\frac{9}{2\sum (xy)^{2}+3}\geq \frac{9}{\frac{2}{3}(\sum x^{2})^{2}+3}=1$
Ơ xin lỗi mình ghi nhầm mẫu phải là $z^4$.Cơ mà nó vẫn ra.
- grigoriperelmanlapdi yêu thích
#7
Đã gửi 20-05-2015 - 12:13
cho mình hỏi thêm làm sao bạn nghĩ ra được là phải đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ thế?
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh