Chủ đề này có 6 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Cho $a,b,c>0$ sao cho $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng $\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab}\geq abc$

[Pham Quoc Thang]

$VT=\frac{1}{2a+\frac{bc}{a}}+\frac{1}{2b+\frac{ca}{b}}+\frac{1}{2c+\frac{ab}{c}}=\frac{1}{2a+\frac{3}{a}-b-c}+\frac{1}{2b+\frac{3}{b}-c-a}+\frac{1}{2c+\frac{3}{c}-a-b} \geq \frac{(1+1+1)^2}{\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}}=\frac{3}{\frac{ab+bc+ca}{abc}}=abc$
 

[longatk08]

Đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ thì $x^2+y^2+z^2=3$.Ta cần chứng minh:

$\sum \frac{1}{2(xy)^2+z^2}\geq 1$

Cái này luôn đúng theo AM-GM

[grigoriperelmanlapdi]

Đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ thì $x^2+y^2+z^2=3$.Ta cần chứng minh:

$\sum$$\frac{1}{2(xy)^2+z^2}\geq 1$

Cái này luôn đúng theo AM-GM

mình làm mãi mà chẳng ra được cái này ,bạn giúp mình với

[khanghaxuan]

mình làm mãi mà chẳng ra được cái này ,bạn giúp mình với

$\sum \frac{1}{2(xy)^{2}+z^{2}}\geq \frac{9}{2\sum (xy)^{2}+\sum x^{2}}=\frac{9}{2\sum (xy)^{2}+3}\geq \frac{9}{\frac{2}{3}(\sum x^{2})^{2}+3}=1$

[longatk08]

$\sum \frac{1}{2(xy)^{2}+z^{2}}\geq \frac{9}{2\sum (xy)^{2}+\sum x^{2}}=\frac{9}{2\sum (xy)^{2}+3}\geq \frac{9}{\frac{2}{3}(\sum x^{2})^{2}+3}=1$

Ơ xin lỗi mình ghi nhầm mẫu phải là $z^4$.Cơ mà nó vẫn ra.

[grigoriperelmanlapdi]

 

cho mình hỏi thêm làm sao bạn nghĩ ra được là phải đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ thế?