Chủ đề này có 4 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$, chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

[longatk08]

Bài này sử dụng $aM-GM$ ngược dấu và BĐT quen thuộc sau:

$3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a^2+b^2+c^2)^2$

[dogsteven]

$\dfrac{a}{ab+1}=a-\dfrac{a^2b}{ab+1}\ge a-\dfrac{\sqrt{a^3b}}{2}$

Do đó ta cần chứng minh $\sum \sqrt{a^3b}\le 3$, dùng bất đẳng thức Vasc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 19-05-2015 - 08:06

[Nhok Tung]

làm rõ ra đi mấy bạn 

[Dinh Xuan Hung]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$, chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

$\textbf{BĐT}\Leftrightarrow \sum \frac{a+a^2b-a^2b}{ab+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a+b+c-\sum \frac{a^2b}{ab+1}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \frac{3}{2}$

Mặt khác:

$\sum \frac{a^2b}{ab+1}\leq \sum \frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=\sum \frac{a^{\frac{3}{2}}.b^{\frac{1}{2}}}{2}$

Khi đó chỉ cần $CM$:$\sum a^{\frac{3}{2}}.b^{\frac{1}{2}}\leq 3$

Đến đây đặt $\left ( a;b;c \right )\rightarrow \left ( x^2;y^2;z^2 \right )$ thì ta có ngay bài quen thuộc : 

$(\sum x^2)^2\geq 3\sum x^3y\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum \left ( x^2-y^2-xy-xz+2yz \right )^2\geq 0 \textbf{LĐ}$

Suy ra $\textbf{ĐPCM}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 19-05-2015 - 12:09