Chủ đề này có 1 trả lời

[songokucadic1432]

Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^2+kx+4=0$

tìm k sao cho $(\frac{x_{1}}{x_{2}})^2+(\frac{x_{2}}{x_{1}})^2\geq 3$

thank

[Vito Khang Scaletta]

Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^2+kx+4=0$ $(1)$
tìm k sao cho $(\frac{x_{1}}{x_{2}})^2+(\frac{x_{2}}{x_{1}})^2\geq 3$
thank

Phương trình $(1)$ có nghiệm $\Delta =k^{2}-16\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k\geq 4 \\ k\leq -4 \end{bmatrix}$
Theo định lý Viét, ta có 2 nghiệm của phương trình $(1)$ thỏa $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-k \\ x_{1}.x_{2}=4 \end{matrix}\right.$ với $\begin{bmatrix} k\geq 4 \\ k\leq -4 \end{bmatrix}$ (điều kiện có nghiệm).
Ta có: $(\frac{x_{1}}{x_{2}})^2+(\frac{x_{2}}{x_{1}})^2\geq 3\Leftrightarrow x_{1}^{4}+x_{2}^{4}\geq 3x_{1}^{2}x_{2}^{2}\Leftrightarrow [(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}]^{2}-5x_{1}^{2}x_{2}^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow (k^{2}-8)^{2}-80\geq 0\Leftrightarrow k^{4}-16k^{2}-16\geq 0$ $(2)$

Xét $f(k)=k^{4}-16k^{2}-16=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k^{2}=8+4\sqrt{5} \\ k^{2}=8-4\sqrt{5}<0;(loai)) \end{bmatrix}\Leftrightarrow k=\pm \sqrt{8+4\sqrt{5}}$

Xét dấu biểu thức $f(k)$, ta có $(2)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} k\geq \sqrt{8+4\sqrt{5}} \\ k\leq -\sqrt{8+4\sqrt{5}} \end{bmatrix}$

So điều kiện có nghiệm....

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa điều kiện đề bài khi $\begin{bmatrix} k\geq \sqrt{8+4\sqrt{5}} \\ k\leq -\sqrt{8+4\sqrt{5}} \end{bmatrix}$