Chủ đề này có 2 trả lời

[zoizethuong]

Tìm tất cả các số thực x,y,z thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{2-z^{2}}+z\sqrt{3-x^{2}}=3$

[Pham Quoc Thang]

Ta có: $ (x-\sqrt{1-y^2})^2 \geq 0 \Rightarrow x^2+1-y^2 \geq 2x\sqrt{1-y^2} $
Tương tự ta có:$ y^2+2-z^2 \geq 2y\sqrt{2-z^2} ; z^2+3-x^2 \geq 2z\sqrt{3-x^2} $
Suy ra:$ 3 \geq x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{1-y^2} ;y=\sqrt{2-z^2};z=\sqrt{3-x^2} \Leftrightarrow x=1;y=0;z=\sqrt{2}$

[longnguyenviet141]

Tìm tất cả các số thực x,y,z thỏa mãn: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{2-z^{2}}+z\sqrt{3-x^{2}}=3$

Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ 3 số ($\sqrt{1-y^{2}}, \sqrt{2-z^{2}}, \sqrt{3-x^{2}}$) và (x,y,z) ta có

$(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{2-z^{2}}+z\sqrt{3-x^{2}})^{2}\leq (x^{2}+y^{2}+z^{2})[6-(x^{2}+y^{2}+z^{2})]$ (1)

Đặt $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a$ ta có Bất đẳng thức (1) tương đương

$9=(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{2-z^{2}}+z\sqrt{3-x^{2}})^{2}\leq (a)(6-a)=-a^{2}+6a-9+9=-(a-3)^{2}+9\leq9$

Dấu "=" xảy ra khi   Giải hệ phương trình trên ta được 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longnguyenviet141: 22-05-2015 - 16:04