Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Hai Bang]

1) Cho $a, b, c > 0, a+b+c=3$. CM: $2(ab+bc+ac)+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \geq 9$

 

2) Cho $a, b, c>0$. CM: $\dfrac{(a+b+c)^3}{27abc}+\dfrac{6(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2} \geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Hai Bang: 20-05-2015 - 21:33

[longatk08]

Bài 1:

a.$2(ab+bc+ac)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ac)$

Lại có: $(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 6\sqrt{abc}$

Mà $ 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc}\geq 9$

Từ đo có đpcm.

b,

Có $\frac{(a+b+c)^3}{27abc}+\frac{3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2}+\frac{3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9(ab+bc+ac)^2}{27abc(a+b+c)}}$

Áp dụng BĐT $(ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)$ ta có đpcm

[KietLW9]

 

1) Cho $a, b, c > 0, a+b+c=3$. CM: $2(ab+bc+ac)+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca} \geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: $2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant 3\sqrt[3]{(ab+bc+ca)^2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})}\geqslant 3\sqrt[3]{3abc(a+b+c)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})}= 3\sqrt[3]{9abc.\frac{a+b+c}{abc}}=3\sqrt[3]{9(a+b+c)}=9$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$