Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=x+y+z$
Chứng minh $\sum \frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=0$
ai giúp mình bài này với
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoanmaimai1: 21-05-2015 - 18:34
Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=x+y+z$
Chứng minh $\sum \frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=0$
ai giúp mình bài này với
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoanmaimai1: 21-05-2015 - 18:34
Đặt tổng trên là S.
Đặt $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b; \frac{1}{z} = c$
$=>ab+bc+ca=1$
$\frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=\frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}+1}{yz}-\frac{1}{yz}$
$=\frac{(\sqrt{1+y^{2}}-1)(\sqrt{1+z^{2}}-1)}{yz}-\frac{1}{yz}=\frac{\sqrt{1+y^{2}}-1}{y}\frac{\sqrt{1+z^{2}}-1}{z}-\frac{1}{yz}$
$=(\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}-\frac{1}{y})(\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}-\frac{1}{z})-\frac{1}{yz}=(\sqrt{1+b^2}-b)(\sqrt{1+c^2}-c)-bc$
Đặt $\sqrt{1+a^2}=m;\sqrt{1+b^2}=n;\sqrt{1+c^2}=p$
$=>m^2=a^2+1=a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$
Ta có : $S=(m-a)(n-b)+(n-b)(p-c)+(p-c)(m-a)-(ab+bc+ca)=(mn+np+pm)-[m(b+c)+n(a+c)+p(a+b)]$
$mn=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt{a+b}=>mn+np+pm=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$
$m(b+c)=\sqrt{(a+b)(a+c)}(b+c)=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt{b+c}$
$=>m(b+c)+n(a+c)+p(a+b)=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})=mn+np+pm$
$=>S=0(đ.p.c.m)$
.
Reaper
.
.
The god of carnage
Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=x+y+z$
Chứng minh $\sum \frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=0$
ai giúp mình bài này với
Đặt vế trái là A, ta có :
$$A=\sum \left [ \sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{y^2z^2}}-\sqrt{\frac{1+y^2}{y^2z^2}}-\sqrt{\frac{1+z^2}{y^2z^2}} \right ]$$
$$=\sum \left [ \sqrt{(1+\frac{1}{y^2})(1+\frac{1}{z^2})}-\frac{1}{z}.\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}-\frac{1}{y}.\sqrt{1+\frac{1}{z^2}} \right ]$$
Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ thì từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=1$
Khi đó :
$$A=\sum \left [ \sqrt{(1+b^2)(1+c^2)}-c\sqrt{b^2+1}-b\sqrt{c^2+1} \right ]$$
$$=\sum \left [ \sqrt{(a+b)(b+c)(c+b)(c+a)}-c\sqrt{(a+b)(c+b)}-b\sqrt{(a+c)(b+c)} \right ]$$
$$=\sum \left [ (b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}-c\sqrt{(a+b)(c+b)}-b\sqrt{(a+c)(b+c)} \right ]=0$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh