Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=x+y+z$

Chứng minh $\sum \frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=0$

   ai giúp mình bài này với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoanmaimai1: 21-05-2015 - 18:34

[ZzNightWalkerZz]

Đặt tổng trên là S.

Đặt $\frac{1}{x} = a; \frac{1}{y} = b; \frac{1}{z} = c$

$=>ab+bc+ca=1$

$\frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=\frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}+1}{yz}-\frac{1}{yz}$

$=\frac{(\sqrt{1+y^{2}}-1)(\sqrt{1+z^{2}}-1)}{yz}-\frac{1}{yz}=\frac{\sqrt{1+y^{2}}-1}{y}\frac{\sqrt{1+z^{2}}-1}{z}-\frac{1}{yz}$

$=(\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}-\frac{1}{y})(\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}-\frac{1}{z})-\frac{1}{yz}=(\sqrt{1+b^2}-b)(\sqrt{1+c^2}-c)-bc$  

Đặt $\sqrt{1+a^2}=m;\sqrt{1+b^2}=n;\sqrt{1+c^2}=p$

$=>m^2=a^2+1=a^2+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

Ta có : $S=(m-a)(n-b)+(n-b)(p-c)+(p-c)(m-a)-(ab+bc+ca)=(mn+np+pm)-[m(b+c)+n(a+c)+p(a+b)]$

$mn=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt{a+b}=>mn+np+pm=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})$

$m(b+c)=\sqrt{(a+b)(a+c)}(b+c)=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt{b+c}$

$=>m(b+c)+n(a+c)+p(a+b)=\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})=mn+np+pm$

$=>S=0(đ.p.c.m)$
 

 

[hoanglong2k]

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=x+y+z$

Chứng minh $\sum \frac{\sqrt{(1+y^{2})(1+z^{2})}-\sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{1+z^{2}}}{yz}=0$

   ai giúp mình bài này với

Đặt vế trái là A, ta có :

$$A=\sum \left [ \sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{y^2z^2}}-\sqrt{\frac{1+y^2}{y^2z^2}}-\sqrt{\frac{1+z^2}{y^2z^2}} \right ]$$

$$=\sum \left [ \sqrt{(1+\frac{1}{y^2})(1+\frac{1}{z^2})}-\frac{1}{z}.\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}-\frac{1}{y}.\sqrt{1+\frac{1}{z^2}} \right ]$$

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ thì từ giả thiết suy ra $ab+bc+ca=1$

Khi đó : 

$$A=\sum \left [ \sqrt{(1+b^2)(1+c^2)}-c\sqrt{b^2+1}-b\sqrt{c^2+1} \right ]$$

 $$=\sum \left [ \sqrt{(a+b)(b+c)(c+b)(c+a)}-c\sqrt{(a+b)(c+b)}-b\sqrt{(a+c)(b+c)} \right ]$$

 $$=\sum \left [ (b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}-c\sqrt{(a+b)(c+b)}-b\sqrt{(a+c)(b+c)} \right ]=0$$