Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyen Hai Bang]

Cho $x,y \in [0;1]$. CMR: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Hai Bang: 22-05-2015 - 01:14

[an1712]

bài này mk nghĩ chỉ cần biến đổi thủ công quy đồng thôi

[dogsteven]

Cho $x=y=1$ thì $VT=\sqrt{2}$ trong khi $VP=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 21-05-2015 - 20:44

[hoangson2598]

Hình như ngược dấu thế nào ấy chứ!!!

[ZzNightWalkerZz]

Sửa lại đề bạn nhé, $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ $\frac{2}{1+xy}\geq\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}$   $(*)$

$(*)<=>2(1+x^2)(1+y^2)-(1+xy)(2+x^2+y^2)\geq0<=>2+2(x^2+y^2)+2x^2y^2-(1+xy)(2+x^2+y^2)\geq0$

$<=>x^2+y^2-xy(2+x^2+y^2)+2x^2y^2\geq0<=>(x-y)^2(1-xy)\geq0$  (Đúng do $0 \leq xy\leq1$)

$=>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+xy}} \geq \sqrt{\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}} \geq \sqrt{\frac{1}{2}}.(\sqrt{ \frac{1}{1+x^2}}+ \sqrt{ \frac{1}{1+y^2}})$

$=>\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$