Chủ đề này có 1 trả lời

[tahuudang8c]

Giải phương trình $x^{3}+ax^{2}+bx+1=0$, biết rằng a, b là các số hữu tỉ và $1+\sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình

[My Linh Vietnamese]

Vì $1+ \sqrt{2}$ là một nghiệm của phương trình nên:

$(1+\sqrt{2})^3+a(\sqrt{2}+1)^2+ b(1+\sqrt{2})+1=0$

$\Leftrightarrow 7+ 5\sqrt{2}+ (3+2\sqrt{2})a+(1+\sqrt{2})b+1=0$

$\Leftrightarrow 8+3a+b=-\sqrt{2}(5+2a+b)$

 ◄ Nếu: $5+2a+b\neq 0$ thì $-\sqrt{2}= \frac{8+3a+b}{5+2a+b} \in \mathbb{Q}$ (Do $a,b$ là các số hữu tỷ)  ---> Vô lý vì $\sqrt{2}$ là số vô tỷ!!

  ◄ Nếu $5+2a+b=0$ thì $8+3a+b=9$

Khi đó ta có $\left\{\begin{matrix} 2a+b=-5 & \\ 3a+b=-8& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=1 & \end{matrix}\right.$

Thay vào ta được phương trình: $x^3-3x^2+x+1=0$

Phương trình này có nghiệm $x \in \begin{Bmatrix} 1;1+ \sqrt{2};1- \sqrt{2} \end{Bmatrix}$