Chủ đề này có 6 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$.

Chứng minh $\left ( 2 - ab\right )\left ( 2-bc \right )\left ( 2-ca \right )\geq 1$

[Min Nq]

Áp dụng BĐT Cauchy cho $ab-2, bc-2,ca-2$:

$3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab-2)+(bc-2)+(ca-2)$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab+bc+ca)-6\leq a^2+b^2+c^2-6=-3$

$\Rightarrow \sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq -1$

$\Rightarrow (ab-2)(bc-2)(ca-2)\leq 1$

$\Rightarrow (2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq 1$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 25-05-2015 - 16:16

[khanghaxuan]

Áp dụng BĐT Cauchy cho $ab-2, bc-2,ca-2$:

$(ab-2)+ (bc-2)+(ca-2)\geq 3(ab-2)(bc-2)(ca-2)$

$\Rightarrow 3(ab-2)(bc-2)(ca-2)\leq (ab+bc+ca)-6\leq (a^2+b^2+c^2)-6=-3$

$\Rightarrow (ab-2)(bc-2)(ca-2)\leq -1 \Rightarrow (2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq 1$(đpcm)

Dòng đầu sai !

[Min Nq]

Dòng đầu sai !

mình sửa lại rồi, bạn xem đúng không

[chungtoiladantoan99]

Áp dụng BĐT Cauchy cho $ab-2, bc-2,ca-2$:

$3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab-2)+(bc-2)+(ca-2)$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab+bc+ca)-6\leq a^2+b^2+c^2-6=-3$

$\Rightarrow \sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq -1$

$\Rightarrow (ab-2)(bc-2)(ca-2)\leq 1$

$\Rightarrow (2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq 1$(đpcm)

cái dùng AM-GM 3 số của bạn là sai. Vì luôn tồn tại 1 tích <2 theo giả thiết

[Pham Quoc Thang]

Áp dụng BĐT Cauchy cho $ab-2, bc-2,ca-2$:

$3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab-2)+(bc-2)+(ca-2)$

$\Rightarrow 3\sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq (ab+bc+ca)-6\leq a^2+b^2+c^2-6=-3$

$\Rightarrow \sqrt[3]{(ab-2)(bc-2)(ca-2)}\leq -1$

$\Rightarrow (ab-2)(bc-2)(ca-2)\leq 1$

$\Rightarrow (2-ab)(2-bc)(2-ca)\geq 1$(đpcm)

Với $ a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{\sqrt{7}}{2}$ thì $a^2+b^2+c^2=3$
Khi đó bạn thấy $ab-2 <0 $ nên k xài Cauchy đc

[longatk08]

Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ac,r=abc$ thì cần chứng minh:

 

$f(r)=r^2-2pr+4q-7\leq 0$

 

Áp dụng BĐT Schur ta có:

 

$r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}= \frac{p(2q-3)}{9}= \frac{p(p^2-6)}{9}$

 

Xét khi $q\leq \frac{3}{2}$ thì do $f(r)$ nghịch biến nên $f(r)\leq f(0)<0$

 

Xét TH ngược lại thì thay cái thứ 3 vào biến đổi ra:

 

$(p-3)(p+3)(p^4-21p^2+117)\leq 0$

 

BĐT trên đúng do $p\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 25-05-2015 - 17:11