Chủ đề này có 2 trả lời

[Thao Meo]

Chứng minh bất đẳng thức 

1) $\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2} \geq \frac{9}{4}$

2)$\frac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}+ \frac{b^2-c^2}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^2-a^2}{\sqrt{a+b}}\geq 0$

3)Cho a.b.c thỏa mãn $a>0 , b\geq c, a^{2}=bc , a+b+c=abc$

CMR : $a\geq \sqrt{3} , b\geq \sqrt{3} , 0< c\leq \sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Meo: 25-05-2015 - 20:11

[tonarinototoro]

Chứng minh bất đẳng thức 

1) $\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2} \geq \frac{9}{4}$

2)$\frac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}+ \frac{b^2-c^2}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^2-a^2}{\sqrt{a+b}}\geq 0$

3)Cho a.b.c thỏa mãn $a>0 , b\geq c, a^{2}=bc , a+b+c=abc$

CMR : $a\geq \sqrt{3} , b\geq \sqrt{3} , 0< c\leq \sqrt{3}$

1, 

$BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{4\left ( a^{2}+ab+b^{2}\right )}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq 9 \Leftrightarrow \sum \frac{3\left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq 9\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq 2$ (*)

BĐT (*) đúng, xem cm ở đây http://diendantoanho...acab2a-b2geq-2/

vậy BĐT cần cm đúng

[Leonguyen]

2)$\frac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}+ \frac{b^2-c^2}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^2-a^2}{\sqrt{a+b}}\geq 0.$

Đặt $a+b=x,$ $b+c=y,$ $c+a=z.$ Khi này:

$VT=\sum\frac{(a-b)(a+b)}{\sqrt{b+c}}$ $=\sum\frac{(z-y)x}{\sqrt{y}}$ $=\sum\left(\frac{xz}{\sqrt y}-x\sqrt y\right).$

Đpcm tương đương với $\sum\frac{xz}{\sqrt y}\geq\sum x\sqrt y$ $\Leftrightarrow \sum\sqrt{x^3z^3}\geq \sum xy\sqrt{xz}.$

Đặt $\sqrt{xy}=m, \sqrt{yz}=n, \sqrt{zx}=p.$ Cần phải chứng minh $m^3+n^3+p^3\geq m^2p+n^2m+p^2n$

Theo BĐT $\text{AM - GM}$ ta có: $m^3+m^3+p^3\geq3m^2p.$ Thiết lập tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm.