Chủ đề này có 2 trả lời

[Watson1504]

Tìm tất cả các số nguyên dương $p,q,r$ thỏa mãn $(p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr$

[Pham Quoc Thang]

$(p^2+1)(q^2+4)(r^2+9) \geq 2p.4q.6r=48pqr$
Dấu "=" xảy ra khi $p=1;q=2;r=3$

[hoctrocuaHolmes]

Tìm tất cả các số nguyên dương $p,q,r$ thỏa mãn $(p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

$p^{2}+1\geq 2p;q^{2}+4\geq 4q;r^{2}+9\geq 6r\Rightarrow (p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)\geq 2p.4q.6r=48pqr$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p^{2}+1=2p & & \\ q^{2}+4=4q& & \\ r^{2}+9=6r & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p=1 & & \\ q=2 & & \\ r=3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy các số nguyên dương thoả mãn là $(p;q;r)=(1;2;3)$