Chủ đề này có 2 trả lời

[hoanglong2k]

 Bài toán : Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a+2b+3c=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức : 

$$M=(a^2b+b^2c+c^2a+abc)(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$$

[hoanglong2k]

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử $a=\max \begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$

Khi đó ta có

                  $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq a(b+c)^2$

                  $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq a(b+c)^2$

$\Rightarrow M\leq a^2(b+c)^4$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho $6$ số ta có

$M\leq \begin{pmatrix} \frac{2a+4(b+c)}{6} \end{pmatrix}^6=\begin{pmatrix} \frac{a+2b+2c}{3} \end{pmatrix}^6\leq \begin{pmatrix} \frac{a+2b+3c}{3} \end{pmatrix}^6=\frac{4096}{729}$

Vậy $\max M=\frac{4096}{729}\Leftrightarrow c=0;a=b=\frac{4}{3}$

Không biết có đúng không?

Sai rồi anh ơi, $M_{max}=8<=> (a,b,c)=(2,1,0)$

Với cả không thể giả sử $a$ lớn nhất được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 27-05-2015 - 13:15

[the man]

 Bài toán : Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a+2b+3c=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức : 

$$M=(a^2b+b^2c+c^2a+abc)(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
      $2M=(a^2b+b^2c+c^2a+abc).2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\leq \frac{\left[(a^2b+b^2c+c^2a+abc)+2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)\right]^2}{4}$
Ta có:

     $(a^2b+b^2c+c^2a+abc)+2(ab^2+bc^2+ca^2+abc)$
     $=a^2b+b^2c+c^2a+2(ab^2+bc^2+ca^2)+3abc$

     $\leq a^2b+b^2c+c^2a+2(ab^2+bc^2+ca^2)+\frac{9}{2}abc$
     $=\frac{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}{2} =\frac{(a+2b)(4b+8c)(c+2a)}{8} $
     $\leq \left(\frac{a+2b+4b+8c+c+2a}{3}\right)^3:8$
       $=(a+2b+3c)^3:8=8$

 $\Rightarrow M \leq8$
Đẳng thức xảy ra tại $a=2,b=1,c=0$