Trung úy
(Math Changelles). Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$(x_{1}+\frac{1}{x_{1}})^{2}+(x_{2}+\frac{1}{x_{2}})^{2}+...+(x_{n}+\frac{1}{x_{n}})^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 29-05-2015 - 17:39
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Trung úy
(Math Changelles). Cho các số thực dương $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ có tổng bằng $1$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$(x_{1}+\frac{1}{x_{1}})^{2}+(x_{2}+\frac{1}{x_{2}})^{2}+...+(x_{n}+\frac{1}{x_{n}})^{2}$
Đặt biểu thức cần tìm GTNN là A
Áp dụng Cauchy-Schwarz có :
$A\geq \frac{1}{n}.\left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x+n}\right )^2\geq \frac{1}{n}\left ( 1+\frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n} \right )^2=\frac{(n^2+1)^2}{n}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 29-05-2015 - 15:58
Trung úy
Đặt biểu thức cần tìm GTNN là A
Áp dụng Cauchy-Schwarz có :
$A\geq \frac{1}{n}.\left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x+n}\right )^2\geq \frac{1}{n}\left ( 1+\frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n} \right )^2=\frac{(n^2+1)^2}{n}$
À anh giải thích rõ hơn đoạn A $\geq$ ..... được không??? Em đọc sách không hiểu đoạn đó???
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 29-05-2015 - 16:10
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Trung úy
À anh giải thích rõ hơn đoạn A $\geq$ ..... được không??? Em đọc sách không hiểu đoạn đó???
A có $n$ số hạng nên ta có :
$(1^2+1^2+...+1^2)\left [ \left ( x_1+\frac{1}{x_1} \right )^2+\left ( x_2+\frac{1}{x_2} \right )^2+...+\left ( x_n+\frac{1}{x_n} \right )^2 \right ]\geq \left ( x_1+\frac{1}{x_1}+x_2+\frac{1}{x_2}+...+x_n+\frac{1}{x_n} \right )^2$
$\Rightarrow A\geq \frac{1}{n}.\left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x+n}\right )^2$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
