Chủ đề này có 4 trả lời

[bvptdhv]

Cho $a,b,c$ là số đo 3 cạnh của 1 tam giác, chứng minh rằng

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+2abc<a(b^{2}+c^{2})+b(a^{2}+c^{2})+c(a^{2}+b^{2})$

[ZzNightWalkerZz]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)<abc$ (Bạn tự biến đổi, mình lười  )

$<=>abc+b(b-c)(a-b)>(a-c)^2(a+c-b)$

$<=>abc+b^2(a-b)-bc(a-b)>(a-c)^2(a+c-b)<=>abc>(a-b)[(a-c)^2-b^2]+c[(a-c)^2+bc]$

Do $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác nên $(a-b)[(a-c)^2-b^2]\leq0$

Giờ ta chỉ việc chứng minh $abc>c[(a-c)^2+bc]<=>ab>(a-c)^2+bc<=>b(a-c)>(a-c)^2$ (Điều này luôn đúng theo BĐT $\triangle$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 29-05-2015 - 21:45

[bvptdhv]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)<abc$ (Bạn tự biến đổi, mình lười  )

$<=>abc+b(b-c)(a-b)>(a-c)^2(a+c-b)$

$<=>abc+b^2(a-b)-bc(a-b)>(a-c)^2(a+c-b)<=>abc>(a-b)[(a-c)^2-b^2]+c[(a-c)^2+bc]$

Do $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác nên $(a-b)[(a-c)^2-b^2]\leq0$

Giờ ta chỉ việc chứng minh $abc>c[(a-c)^2+bc]<=>ab>(a-c)^2+bc<=>b(a-c)>(a-c)^2$ (Điều này luôn đúng theo BĐT $\triangle$)

Tớ có cách này ms tìm ra, ta giả sử cái bđt trên đúng, chuyển sang vế phải thì đc
$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)>0$ đúng với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
: ))

[ZzNightWalkerZz]

Tớ có cách này ms tìm ra, ta giả sử cái bđt trên đúng, chuyển sang vế phải thì đc
$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)>0$ đúng với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
: ))

Cách này hay đấy. Vậy thì thử đổi đề đi tí cho hay.

Không cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nữa, thay $2abc$ thành $kabc$. Tìm k lớn nhất để bất đẳng thức đúng

     Bạn thử làm đi nhé, nếu bận thì thôi

[bvptdhv]

Cách này hay đấy. Vậy thì thử đổi đề đi tí cho hay.

Không cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nữa, thay $2abc$ thành $kabc$. Tìm k lớn nhất để bất đẳng thức đúng

     Bạn thử làm đi nhé, nếu bận thì thôi

Hì, tớ mong có người thảo luận sôi nổi như thế này ấy chứ : ))