Chủ đề này có 1 trả lời

[Nhok Tung]

Cho 0 $\leq x,y,z\leq 1$, chứng minh $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3$

[hoctrocuaHolmes]

Cho 0 $\leq x,y,z\leq 1$, chứng minh $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3$

Nhận thấy $(1-y)(1-x^{2})\geq 0\Rightarrow 1-y-x^{2}+2x^{3}\geq 2x^{3}-x^{2}y$

Chứng minh tương tự $1-z-y^{2}+2y^{3}\geq 2y^{3}-y^{2}z,1-x-z^{2}+2z^{3}\geq 2z^{3}-z^{2}x$
$\Leftrightarrow 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})-(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3-x-y-z-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\leq 3$

(do $x^{3}\leq x^{2},x^{3}\leq x$)

Dấu'='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy,BDT đã được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 02-06-2015 - 12:03