Chủ đề này có 2 trả lời

[nhungvienkimcuong]

$\boxed{\text{Problem}}$

Cho $a,b,c$ nguyên dương và $b,c$ là hai số khác nhau

CMR $2a\mid \varphi \left ( b^a+c^a \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 03-06-2015 - 15:36

[Juliel]

$\boxed{\text{Problem}}$

Cho $a,b,c$ nguyên dương và $b,c$ là hai số khác nhau

CMR $2a\mid \varphi \left ( b^a+c^a \right )$

Lời giải :

 

 

Đặt $d=b^a+c^a$. Ta có :

$$b^a\equiv -c^a\pmod d\Rightarrow b^{2a}\equiv c^{2a}\pmod d$$

Nếu $\gcd(b,c)=1$ thì dễ thấy $\gcd(c,d)=1$, khi đó gọi $m$ là nghịch đảo của $c$ theo modulo $d$, ta có :

$$(bm)^{2a}\equiv (cm)^{2a}\equiv 1\pmod d$$

Suy ra rằng :

$$ord_d(bm)\mid 2a\;\;\;\;(1)$$

Chú ý là $\gcd(m,d)=1$ nên :

$$(bm)^{ord_d(bm)}\equiv 1\equiv (cm)^{ord_d(bm)}\;\pmod d\Rightarrow b^{ord_d(bm)}\equiv c^{ord_d(bm)}\pmod d$$

Do đó :

$$b^a+c^a=d\leq \left | b^{ord_d(bm)}-c^{ord_d(bm)} \right |\leq b^{ord_d(bm)}+c^{ord_d(bm)}\;\;\;$$

Từ đây ta có $ord_d(bm)>a\;\;\;(2)$. Từ $(1)(2)$ suy ra :

$$ord_d(bm)=2a$$

Theo định lí Euler :

$$(bm)^{\varphi (d)}\equiv 1\pmod d\Rightarrow ord_d(bm)\mid \varphi (d)$$

Tức là ta có :

$$2a\mid \varphi (b^a+c^a)$$

Còn nếu mà $\gcd(b,c)=k\neq 1$ thì tương tự trên ta có :

$$2a\mid \varphi \left ( \left ( \frac{b}{k} \right )^a+\left ( \dfrac{c}{k} \right )^a \right )\Rightarrow 2a\mid \varphi (k^a).\varphi \left ( \left ( \dfrac{b}{k} \right )^a+\left ( \dfrac{c}{k} \right )^a \right )=\varphi (b^a+c^a)$$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 03-06-2015 - 17:58

[Konstante]

Do không có ràng buộc gì giữa $b$ và $c$ (ngoại trừ hai số cần khác nhau), và do $$\left( {\left(\frac{b}{\gcd(b,c)}\right)}^a + {\left(\frac{c}{\gcd(b,c)}\right)}^a \right) \mid \left( b^a + c^a \right)$$ kéo theo $$\varphi \left( {\left(\frac{b}{\gcd(b,c)}\right)}^a + {\left(\frac{c}{\gcd(b,c)}\right)}^a \right) \mid \varphi \left( b^a + c^a \right)$$ nên ta chỉ cần giải quyết trong trường hợp $\gcd (b,c) = 1$. Đặt $G = \left( \mathbb{Z}/(b^a+c^a)\mathbb{Z} \right)^{*}$, thế thì $\left| G \right| =\varphi(b^a + c^a)$ nên ta chỉ cần chỉ ra được một phần tử (ký hiệu là $\overline{g}$) của $G$ với bậc là $2a$, thì vì nhóm cyclic $\langle \overline{g} \rangle$ là một nhóm con của $G$ nên theo định lý Lagrange $$2a \mid \varphi(b^a + c^a)$$ Vì $\gcd(b,c) = 1$ nên $\overline{b}, \overline{c} \in G $, ta có thể chọn $\overline{g} = \overline{b}\overline{c}^{-1}$ (hoặc $\overline{b}^{-1}\overline{c})$. Thật vậy $$\overline{g}^{2a} - \overline{1} = (\overline{g}^{a} - \overline{1})(\overline{g}^{a} +\overline{1}) = (\overline{g}^{a} - \overline{1})\overline{c^{-1}}^{a}(\overline{b}^{a} + \overline{c}^{a})$$ tức là $\overline{g}^{2a} = \overline{1}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 06-11-2023 - 01:29