Chủ đề này có 2 trả lời

[O0NgocDuy0O]

Cho 1 tứ giác lồi có độ dài 4 cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng 3 số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Cmr tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau.

[ducvipdh12]

Gọi độ dài 4 cạnh của tứ giác là $a,b,c,d\in \mathbb{N^{*}}$

Giả sử trái lại rằng $1\leq a< b< c< d$ theo điều kiện của bài

Suy ra $a+b+c+d=ma=nb=pc=qd(m,n,p,q\in \mathbb{N^{*}};q< p< n< m)$

$a+b+c> d\Rightarrow qd> 2d\Rightarrow q\geq 3,p\geq 4,n\geq 5,m\geq 6\Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq \frac{19}{20}< 1$

Mà ta lại có $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ nên ta có điều mâu thuẫn

Vậy ta có điều phải chứng minh 

P/s: 1 bài tóan hay

[O0NgocDuy0O]

Gọi độ dài 4 cạnh của tứ giác là $a,b,c,d\in \mathbb{N^{*}}$

Giả sử trái lại rằng $1\leq a< b< c< d$ theo điều kiện của bài

Suy ra $a+b+c+d=ma=nb=pc=qd(m,n,p,q\in \mathbb{N^{*}};q< p< n< m)$

$a+b+c> d\Rightarrow qd> 2d\Rightarrow q\geq 3,p\geq 4,n\geq 5,m\geq 6\Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\leq \frac{19}{20}< 1$

Mà ta lại có $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ nên ta có điều mâu thuẫn

Vậy ta có điều phải chứng minh 

P/s: 1 bài tóan hay

Em làm vậy anh xem được không ạ???

Gọi 4 cạnh tứ giác là a,b,c,d($a,b,c,d\epsilon \mathbb{N}^{*}$).

G/s không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau. Đặt: $x=\frac{b+c+d}{a},y=\frac{c+d+a}{b},z=\frac{d+a+b}{c}(x,y,z\epsilon \mathbb{N}^{*}$ do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại).

Vì tổng 3 cạnh của tứ giác bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại nên:

b+c+d>a, c+d+a>b, d+a+b>c $\Rightarrow x,y,z>1\Rightarrow x,y,z\geq 2$. Không mất tính tổng quát g/s a>b>c>d thì x<y<z.

$x\geq 2,y>x\Rightarrow y\geq 3$. Tương tự, $z\geq 4$. Do đó

$\left\{\begin{matrix} b+c+d\geq 2a\\ c+d+a\geq 3b\\ d+a+b\geq 4c \end{matrix}\right. \Rightarrow 2a+2b+2c+3d\geq 2a+3b+4c\Rightarrow 3d\geq b+2c$( Vô lí do b>c>d).

Vậy điều g/s sai nên có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 04-06-2015 - 11:50