Cho $x,y,z>0 ; x+y+z=1$CM: $\sum \frac{x^3}{(1-x)^2} \geq \frac{1}{4}$
Cho $x,y,z>0 ; x+y+z=1$CM: $\sum \frac{x^3}{(1-x)^2} \geq \frac{1}{4}$
Bắt đầu bởi arsfanfc, 04-06-2015 - 17:43
#2
Đã gửi 04-06-2015 - 17:51
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho $x,y,z>0 ; x+y+z=1$CM: $\sum \frac{x^3}{(1-x)^2} \geq \frac{1}{4}$
$$\sum (3x-1)^2\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{x^3}{(1-x)^2}\geq \sum x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$
- arsfanfc, the man, congdaoduy9a và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 11-04-2021 - 16:54
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{x^3}{(1-x)^2}+\frac{1-x}{8}+\frac{1-x}{8}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{x^3}{(1-x)^2}.\frac{1-x}{8}.\frac{1-x}{8}}=\frac{3}{4}x\Rightarrow \frac{x^3}{(1-x)^2}\geqslant x-\frac{1}{4}$
Tương tự rồi cộng lại: $\sum_{cyc}\frac{x^3}{(1-x)^2}\geqslant x+y+z-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z\frac{1}{3}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
