Chủ đề này có 5 trả lời

[Minato]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN: $A=\sum (a-1)^{3}$

[arsfanfc]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN: $A=\sum (a-1)^{3}$

Ta có : $(a-1)^3 =a^3-3a^2+3a-1=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}b-1 =a(a-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}b-1 \geq \frac{3}{4}b-1$

$=>\sum (a-1)^3 \geq \frac{3}{4}(a+b+c)-3=\frac{-3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 04-06-2015 - 22:19

[congdaoduy9a]

Làm như thế thì dấu "=" khi nào thế (0;3/2;3/2) đâu có chuẩn đâu ?

[chungtoiladantoan99]

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN: $A=\sum (a-1)^{3}$

Áp dụng BĐT Holder ta có: 

$9\sum (a-1)^3=(1+1+1)(1+1+1)[(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3]\geq (a+b+c-3)^3=0$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[Hoangtheson2611]

Ta có : $(a-1)^3 =a^3-3a^2+3a-1=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}b-1 =a(a-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}b-1 \geq \frac{3}{4}b-1$

$=>\sum (a-1)^3 \geq \frac{3}{4}(a+b+c)-3=\frac{-3}{4}$

chỗ đấy phải là a chứ bạn sao lại b

[Minato]

Vì a-1+b-1+c-1=0

$=>A=3(a-1)(b-1)(c-1) =3(abc-ab-bc-ca+a+b+c-1) =3\left [ ab(c-1)-c(a+b) \right+2 ] =3\left [ ab(c-1)-c(3-c) \right+2 ]$

Giả sử c lớn nhất trong 3 số

$=>c\geq 1

=>A=3\left [ ab(c-1)+c^{2}-3c\right+2 ]=3\left [ ab(c-1)+(c-\frac{3}{2})^{2}-\frac{1}{4} \right ]\geq \frac{-3}{4}$

Dấu '=' <=> c=b=1,5  a=0 và các hoán vị của nó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minato: 05-06-2015 - 21:20