Chủ đề này có 4 trả lời

[Nguyentiendung9372]

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố $q$ sao cho với mọi số nguyên $n$ thì ${n^p} - p$ không chia hết cho $q$

[Belphegor Varia]

Lời giải : Ta có $\frac{p^{p}-1}{p-1}=1+p+p^{2}+...+p^{p-1}\equiv p+1(mod p^{2})$
$\rightarrow$ có ít nhất một ước nguyên tố của $\frac{p^{p}-1}{p-1}$ không đồng dư với $1$ mod $p^{2}$
Gọi số nguyên tố này là $q$ , ta sẽ chỉ ra đây là số nguyên tố $q$ cần tìm . 
Thật vậy , giả sử $\exists n \epsilon \mathbb{Z}$ sao cho $n^{p}\equiv p(modq)$ . Khi đó theo cách chọn số $q$ ta có $n^{p^{2}}\equiv p^{p}\equiv 1 (modq)$ 
Mặt khác , theo định lý Fermat $n^{q-1}\equiv 1(modq)$ ( vì $q$ nguyên tố ). 
Suy ra $n^{(q-1,p^{2})}\equiv 1 (modq)$                                                                                                     $(1)$
Hơn nữa ta có $q-1$ không chia hết cho $p^{2}$ (theo cách chọn $q$ ) nên $p\vdots (p^{2},q-1)$              $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $n^{p}\equiv 1$ $(modq)$
Do đó : $p\equiv 1(modq)$ (dễ dàng suy ra từ Fermat nhỏ )
Khi đó ta thu được $\frac{p^{p}-1}{p-1}= 1+p+p^{2}+...+p^{p-1}\equiv p (modq)$

Kết hợp với định nghĩa của $q$ suy ra $p\equiv 0(modq)$ $\rightarrow$ Mâu thuẫn 
Ta có ĐPCM $\square$
 

[Chris yang]

Lời giải : Ta có $\frac{p^{p}-1}{p-1}=1+p+p^{2}+...+p^{p-1}\equiv p+1(mod p^{2})$
$\rightarrow$ có ít nhất một ước nguyên tố của $\frac{p^{p}-1}{p-1}$ không đồng dư với $1$ mod $p^{2}$
Gọi số nguyên tố này là $q$ , ta sẽ chỉ ra đây là số nguyên tố $q$ cần tìm . 
Thật vậy , giả sử $\exists n \epsilon \mathbb{Z}$ sao cho $n^{p}\equiv p(modq)$ . Khi đó theo cách chọn số $q$ ta có $n^{p^{2}}\equiv p^{p}\equiv 1 (modq)$ 
Mặt khác , theo định lý Fermat $n^{q-1}\equiv 1(modq)$ ( vì $q$ nguyên tố ). 
Suy ra $n^{(q-1,p^{2})}\equiv 1 (modq)$                                                                                                     $(1)$
Hơn nữa ta có $q-1$ không chia hết cho $p^{2}$ (theo cách chọn $q$ ) nên $p\vdots (p^{2},q-1)$              $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $n^{p}\equiv 1$ $(modq)$
Do đó : $p\equiv 1(modq)$ (dễ dàng suy ra từ Fermat nhỏ )
Khi đó ta thu được $\frac{p^{p}-1}{p-1}= 1+p+p^{2}+...+p^{p-1}\equiv p (modq)$

Kết hợp với định nghĩa của $q$ suy ra $p\equiv 0(modq)$ $\rightarrow$ Mâu thuẫn 
Ta có ĐPCM $\square$
 

Giải thích hộ mình ý này với bạn ơi 

[Belphegor Varia]

Giải thích hộ mình ý này với bạn ơi 

vì $\frac{p^{p}-1}{p-1} \not\equiv 1 (modp^{2})$ . Nên phải có ít nhất có ước nguyên tố $q$ nào đó thỏa mãn $q\not\equiv 1 (modp^{2})$
 

[nhungvienkimcuong]

Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên tố $q$ sao cho với mọi số nguyên $n$ thì ${n^p} - p$ không chia hết cho $q$

bài này có thể thêm một yếu tố nữa là có vô hạn số nguyên tố $q$ thỏa đề,xem ở đây