Chủ đề này có 1 trả lời

[tahuudang8c]

Cho số thực x thay đổi và thỏa mãn $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$

[vda2000]

Cho số thực x thay đổi và thỏa mãn $x^{2}+(3-x)^{2}\geq 5$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x^{4}+(3-x)^{4}+6x^{2}(3-x)^{2}$

Đặt $3-x=y$ Ta có:

$x+y=3$ và $x^2+y^2\geq 5$

$P=x^4+y^4+6x^2y^2$

$\Leftrightarrow P=(x^2+y^2)^2+4x^2y^2$

$\Leftrightarrow P=((x+y)^2-2xy)^2+4x^2y^2$

$\Leftrightarrow P=(9-2xy)^2+4x^2y^2$

$\Leftrightarrow P=81-36xy+4x^2y^2+4x^2y^2$

$\Leftrightarrow P=8(xy)^2-36xy+81$

Đặt $xy=t$

Ta có: $P=8t^2-36t+81$

Lại thấy: $x+y=3$ $x^2+y^2\geq 5$

Suy ra: $(x+y)^2-(x^2+y^2)\leq 3^2-5$

$\Leftrightarrow 2xy\leq 4$

$\Leftrightarrow xy\leq 2$

$\Leftrightarrow t\leq 2$

Do đó, ta sẽ nghĩ $min_P$ xảy ra tại $t=2$ Thay vào được $P=41$ nên sẽ tách:

$P=8t^2-36t+40+41$

$\Leftrightarrow P=8(t-\frac{5}{2})(t-2)+41\geq 41$

Vậy $min_P=41$ tại $t=2$ Suy ra: $x=1$ hoặc $x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 06-06-2015 - 09:57