Chủ đề này có 4 trả lời

[Nhok Tung]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

[Phanbalong]

Mình hôm qua thi cũng ko làm được bài này , khó quá

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=2. Tìm GTNN của $P=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Từ giả thiết ta có:$0\leq a,b,c\leq 2$

Ta có:$\left\{\begin{matrix} a(2-a)\geq 0 & & & \\ b(2-b)\geq 0 & & & \\ c(2-c)\geq 0 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 2a & & & \\ b^2\leq 2b & & & \\ c^2\leq 2c & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2(a+b+c)=4\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq 2$

Đặt $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=x\Rightarrow x\leq 2$

Ta có:$P=\sqrt{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab+bc+ac}{2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=x+\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{4}+\frac{1}{x^2}=x+\frac{4-x^2}{4}+\frac{1}{x^2}$

Ta phải cm:

$x+\frac{4-x^2}{4}+\frac{1}{x^2}\geq \frac{9}{4}\Leftrightarrow x-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}\geq \frac{5}{4}\Leftrightarrow \frac{4x^3-x^4+4}{4x^2}\geq \frac{5}{4}\Leftrightarrow 4x^3-x^4+4\geq 5x^2\Leftrightarrow x^4-4x^3+5x^2-4\leq 0$

Mặt khác ta có:$x^4-4x^3+5x^2-4=x^4-2x^3-2x^3+4x^2+x^2-2x+2x-4=x^3(x-2)-2x^2(x-2)+x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x^3-2x^2+x+2)=(x-2)\left [ x(x-1)^2+2 \right ]\leq 0$

Luôn đúng với mọi $x\leq 2$

NX: Theo mình bài này cự kì dễ nhưng nó đã đánh lừa các bạn ở phần dấu bằng.Khi $a=b=c=2/3$ thì GTNN của $P$ sẽ lớn hơn GTNN của $P$ vừa tìm được.

[fairytail19061]

Ta có thể đạo hàm hoặc đặt ẩn giải thôi
Biến đổi (ab + bc + ca)/2 thành 1 + (a^2 +b^2 + c^2)/4
sau đó đặt a^2 + b^2 + c^2 = x
và sau đó đạo hàm để tìm min rồi tìm a^2 + b^2 + c^2 rồi giải tiếp là xong

 

[Nhok Tung]

THCS mà, ko  được dùng đạo hàm