Chủ đề này có 2 trả lời

[Nhok Tung]

Cho a,b,c > thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{a+b+c}{4}$

[khanghaxuan]

Đối với bài này thì ý tưởng dùng C- S là khá rõ ràng nhưng nếu ta sử dụng một cách trực tiếp thì không khả quan do : 

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a+\sum ab}$

Tiếp theo ta cần chứng minh : $\frac{(\sum a)^{2}}{\sum a+\sum ab}\geq \frac{\sum a}{4}\Leftrightarrow 3\sum a\geq \sum ab$

Mặt khác , điều này lại sai vì : $(\sum ab)^{2}\geq 3abc\sum a=\sum a.\sum ab\Rightarrow \sum ab\geq 3\sum a$ (ngược dấu !  )

Do đó ta sẽ đánh giá một cách tinh tế hơn , chặt hơn như sau : 

$\sum \frac{a^{2}}{a+bc}=\sum \frac{a^{4}}{a^{3}+a^{2}bc}\geq \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{3}+abc\sum a}$

Ta cần chứng minh : $4(\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a)(\sum a^{3}+abc\sum a)$

$\Leftrightarrow 3\sum a^{4}+6a^{2}b^{2}\geq 2\sum ab(a^{2}+b^{2})+5abc\sum a$ (Áp dụng $abc=\sum ab$)

Mà điều này luôn đúng  do:  $2\sum a^{4}+2\sum a^{2}b^{2}\geq 2\sum ab(a^{2}+b^{2})$

  $2a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 4a^{2}bc\Rightarrow \sum a^{4}\geq abc\sum a$

$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}\geq 2b^{2}ac\Rightarrow \sum a^{2}b^{2}\geq abc\sum a$

Vì vậy bài toán được chứng minh  

[Congnghiaky298]

 http://diendantoanho...afrac1bfrac1c1/

Bạn nên tìm kiếm trước khi đăng nha có chỗ seach mà lặp lại hoài