Chủ đề này có 2 trả lời

[foollock holmes]

cho hai số thực dương x,y thoả mãn

$x^3+y^3-3xy(x^2+y^2)+4x^2y^2(x+y)-4x^3y^3=0$

tìm min của $x+y$

p/s mọi người nếu có thể thì cho mình hỏi kinh nghiệm làm mấy dạng này là j? tại trong sách đa số là mấy bài đối xứng nên dạng này hơi lạ với mình, cảm ơn trước

[tonarinototoro]

đặt $x+y=S,xy=P$. đk $S^{2}\geq4P$

từ giả thiết suy ra $S(S^{2}-3P)-3P(S^{2}-2P)+4P^{2}S-4P^{3}=0\Leftrightarrow (S-2P)(S^{2}-SP+2P^{2}-3P)=0$

có $\frac{1}{4}S^{2}-SP+P^{2}=(\frac{1}{2}S-P)^{2}\geq 0,\frac{3}{4}S^{2}\geq \frac{3}{4}.4P=3P => S^{2}-SP+2P^{2}-3P>0$

$\Leftrightarrow S=2P\leq \frac{S^{2}}{2}\Rightarrow S\geq 2$ 

dấu $"=" <=> x=y=1$

những bài đối xứng như thế này thì thường đưa về tổng và tích 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tonarinototoro: 09-06-2015 - 12:26

[hoctrocuaHolmes]

cho hai số thực dương x,y thoả mãn

$x^3+y^3-3xy(x^2+y^2)+4x^2y^2(x+y)-4x^3y^3=0$

tìm min của $x+y$

p/s mọi người nếu có thể thì cho mình hỏi kinh nghiệm làm mấy dạng này là j? tại trong sách đa số là mấy bài đối xứng nên dạng này hơi lạ với mình, cảm ơn trước

Vì $x;y$ là các số thực dương nên chia cả 2 vế cho $x^{3}y^{3}$ ta có

$\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{x^{3}}-3(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-4=0$

Đặt $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=a;\frac{1}{xy}=b$ ta được

$a(a^{2}-3b)-3(a^{2}+2b)+4a-4=0\Leftrightarrow a^{3}-3a^{2}+4a-4-3b(a-2)=0\Leftrightarrow (a-2)(a^{2}-a+2-3b)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=2 & \\ a^{2}-a+2-3b=0 & \end{bmatrix}$

$\frac{1}{4}a^{2}-a+1=(\frac{1}{2}a-1)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{4}a^{2}+1\geq a$

và $\frac{3}{4}a^{2}+1\geq 3b$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{xy})+1-\frac{3}{xy}\geq 0\Leftrightarrow 3(\frac{1}{4x^{2}}-\frac{1}{xy}+\frac{1}{4y^{2}})+1> 0$

Do đó $a^{2}-a+2-3b> 0$

Vì $a=2$ (đã cm) nên áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\Leftrightarrow 2\geq \frac{4}{x+y}\Leftrightarrow x+y\geq 2$

Dấu''='' xảy ra khi $x=y=1$

Vậy........