Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R->R$ thỏa
$(x+y)f(x+y) = xf(x) + yf(y) + 2xy$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 10-06-2015 - 08:52
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R->R$ thỏa
$(x+y)f(x+y) = xf(x) + yf(y) + 2xy$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 10-06-2015 - 08:52
Mabel Pines - Gravity Falls
Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:R->R$ thỏa
$(x+y)f(x+y) = xf(x) + yf(y) + 2xy$
Xét hàm số $g(x)=xf(x)-x^2$
Vì $f(x)$ liên tục trên $R$ nên $g(x)$ cũng liên tục trên $R$
Từ giả thiết ta sẽ có:
$g(x+y)=g(x)+g(y)$
$g(x)$ là phương trình hàm Cauchy nên $g(x)=ax$ với a là số thực
Từ đó tìm được $f(x)$
Nhưng đặt như vậy thì f(x) không xác định tại x=0 vì f(x) = $\frac{g(x)+x^{2}}{x}$ mà f(x) lại liên tục
Mabel Pines - Gravity Falls
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh