Chủ đề này có 4 trả lời

[khanghaxuan]

Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các tính chất sau : 

1. Phần tử nhỏ nhất của A là 1 , phần tử lớn nhất của $A$ là 100

2. Mọi phần tử khác 1 của A đều bằng tổng 2 phần tử thuộc A (có thể bằng nhau)

Gọi $S(n)$ là số phần tử của A . Tìm GTNN của $S(n)$

[ZzNightWalkerZz]

Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các tính chất sau : 

1. Phần tử nhỏ nhất của A là 1 , phần tử lớn nhất của $A$ là 100

2. Mọi phần tử khác 1 của A đều bằng tổng 2 phần tử thuộc A (có thể bằng nhau)

Gọi $S(n)$ là số phần tử của A . Tìm GTNN của $S(n)$

Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất hở anh ?

[dogsteven]

Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất hở anh ?

Em nhớ là giá trị nhỏ nhất hay sao ý, hình như bằng $8$ thì phải.

[ZzNightWalkerZz]

Em nhớ là giá trị nhỏ nhất hay sao ý, hình như bằng $8$ thì phải.

Nếu là giá trị lớn nhất thì có vẻ khó chứ giá trị nhỏ nhất thì dễ lắm

[ducvipdh12]

Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các tính chất sau : 

1. Phần tử nhỏ nhất của A là 1 , phần tử lớn nhất của $A$ là 100

2. Mọi phần tử khác 1 của A đều bằng tổng 2 phần tử thuộc A (có thể bằng nhau)

Gọi $S(n)$ là số phần tử của A . Tìm GTNN của $S(n)$

Đây được gọi là bài toán cực trị về tập hợp,có rất nhiều bài toán hay liên quan đến dạng toán này và bài trên cũng là 1 bài toán tiêu biểu

Lời giải:

Đầu tiên đề bài yêu cầu tìm cái gì thì ta cứ đặt cái đó là ẩn đã. Giả sử tập $A$ gồm $n$ phần tử là $1=x_1< x_2< ...< x_n=100$ ( dấu $<$ bởi vì đề bài yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của $S(n)$ )

Giả thiết thứ 2 chính là mấu chốt của bài toán!

Với mỗi $2\leq i\leq n$ ta có:

$x_i=x_j+x_s\leq 2x_{i-1}$

Do đó:

$x_2\leq 2x_1=2,x_3\leq 2x_2=4,x_4\leq 2x_3=8,x_5\leq 2x_4=16,x_6\leq 2x_5=32,x_7\leq 2x_6=64\Rightarrow n\geq 8$

Đến đây chăc nhiều bạn đã nghĩ bài toán đã được giải quyểt xong, nhưng không phải như vậy! Đây là 1 trong những sai lầm thường gặp, đó là chúng ta thường quên thử lại,kiểm tra lại xem đó có phải là giá trị nhỏ nhất chưa

Nếu $n=8$ $\Rightarrow x_8=100$, kết hợp $x_6+x_7\leq 64+32=96\Rightarrow x_8=2x_7\Rightarrow x_7=50$

Do $x_5+x_6\leq 48\Rightarrow x_7=2x_6\Rightarrow x_6=25$. Mặt khác ta lại có $x_4+x_5\leq 24\Rightarrow x_6=2x_5\Rightarrow x_5=\frac{25}{2}$ Vô lý!

Do đó $n\geq 9$, với $n=9$ ta lấy tập hợp $A=\left \{ 1,2,3,5,10,20,25,50,100 \right \}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy GTNN $S(n)=9$