Chủ đề này có 5 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho các số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{2}y}{z}\geq \sum x^{2}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho các số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{2}y}{z}\geq \sum x^{2}$

Thôi thì biến đổi tương đương vậy:

$x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2\geq x^3yz+y^3xz+z^3xy$

$<=> x^3y(y-z)+y^2z^2(y-z)+z^3(y^2-2yx+x^2)-xyz(y^2-z^2)\geq 0$

$<=> (y-z)(x-z)(x^2y+yz(x-y))+z^3(x-y)^2\geq 0$

Kết hợp giả thiết => ĐPCM

[Hoang Nhat Tuan]

Thử dạng mở rộng này xem:

$\sum \frac{x^2y}{z}\geq \sum x^2+\frac{ \prod (x-y)^2}{xyz\sum x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 13-06-2015 - 11:29

[dogsteven]

Bất đẳng thức mở rộng sai với $x=8, y=1, z=2$

Đối với bất đẳng thức đầu tiên ta dùng kỹ thuật $(a-b)(b-c)(c-a)$:

Đặt $f(x,y,z)=\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}$ thì $f(x,y,z)-f(z,y,x)=\dfrac{(x-y)(x-z)(y-z)(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 0$

Do đó $2\sum \dfrac{x^2y}{z}\geqslant \sum x^2\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\geqslant 2\sum x^2$ nên ta có điều phải chứng minh.

[Hoang Nhat Tuan]

Bất đẳng thức mở rộng sai với $x=8, y=1, z=2$

Đối với bất đẳng thức đầu tiên ta dùng kỹ thuật $(a-b)(b-c)(c-a)$:

Đặt $f(x,y,z)=\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}$ thì $f(x,y,z)-f(z,y,x)=\dfrac{(x-y)(x-z)(y-z)(xy+yz+zx)}{xyz}\geqslant 0$

Do đó $2\sum \dfrac{x^2y}{z}\geqslant \sum x^2\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\geqslant 2\sum x^2$ nên ta có điều phải chứng minh.

Xin lỗi mình nhầm, đã fix

[the man]

Cho các số thực dương $x,y,z$ với $x\geq y\geq z$ . Chứng minh rằng $\sum \frac{x^{2}y}{z}\geq \sum x^{2}$

Cách khác:

Ta có: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}-(x^2+y^2+z^2)$

           $=\frac{x^2(y-z)}{z}+\frac{y^2(z-x)}{x}+\frac{z^2(x-y)}{y}$

           $=\frac{x^2(y-z)}{z}-\frac{y^2[(y-z)+(x-y)]}{x}+\frac{z^2(x-y)}{y}$

           $=(y-z).\frac{x^3-y^2z}{xz}+(x-y).\frac{xz^2-y^3}{xy}$

           $\geq (y-z).\frac{x^2z-y^2z}{xz}+(x-y).\frac{yz^2-y^3}{xy}$

           $=\frac{(y-z)(x-y)(x+y)}{x}+\frac{(x-y)(z-y)(z+y)}{x}$

           $=\frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{x}\geq 0$