Chủ đề này có 2 trả lời

[ducvipdh12]

Chứng minh đẳng thức:

$\sum_{k=0}^{n}2^kC_n^k.C_{n-k}^{\left [ \frac{n-k}{2} \right ]}=C_{2n+1}^n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 15-06-2015 - 15:40

[hxthanh]

Ở đây nhé!

[ducvipdh12]

Ở đây nhé!

dạ cái này em biết,nhưng bài toán này có 1 cái hay là nó mở ra bài toán sau đây:

Chứng minh đẳng thức:

$\sum_{k=0}^{n}2^{n-k}C_n^k.C_k^{\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor}=C_{2n+1}^n$

thực chất 2 bài là giống nhau nhưng khi chuyển sang dạng trên thì em thấy có 1 cách rất thú vị là so sánh hệ số tự do ( cách làm học hỏi được từ anh 

Karl Heinrich Marx ) 

Ta có $C_k^{\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor}$ là hệ số tự do trong khai triển $(1+x)(x+x^{-1})^k$

Khi đó:

$\sum_{k=0}^{n}C_n^k(1+x)(x+\frac{1}{x})^k.2^{n-k}=(1+x)\sum_{k=0}^{n}C_n^k(x+\frac{1}{x})^k.2^{n-k}=(1+x)(2+x+\frac{1}{x})^n=\frac{1}{x^n}(1+x)(2x+x^2+1)^n=\frac{1}{x^n}(1+x)^{2n+1}$

So sánh hệ số tự do ta có đpcm