Chủ đề này có 5 trả lời

[Namthemaster1234]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn : $n2^{n}-1$ chia hết cho $p$

[Nguyen Minh Hai]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn : $n2^{n}-1$ chia hết cho $p$

Đặt $N=n2^n-1$

Ta có $p \geq 3,p \in P$

Dễ thấy với $n \geq 2$ thì $N >3$

và $N$ lẻ

Xảy ra 2TH:

- TH1: Nếu $N$ là số nguyên tố, khi đó $N \vdots p$ với $p=N$

- TH2: Nếu $N$ là hợp số, mà $N$ lẻ do đó $N$ có ước nguyên tố lẻ nên $N \vdots p$

[ZzNightWalkerZz]

Đặt $N=n2^n-1$

Ta có $p \geq 3,p \in P$

Dễ thấy với $n \geq 2$ thì $N >3$

và $N$ lẻ

Xảy ra 2TH:

- TH1: Nếu $N$ là số nguyên tố, khi đó $N \vdots p$ với $p=N$

- TH2: Nếu $N$ là hợp số, mà $N$ lẻ do đó $N$ có ước nguyên tố lẻ nên $N \vdots p$

Lời giải này là tồn tại ước nguyên tố lẻ mà đề bài lại bảo là có vô số số tự nhiên n cơ mà

[ZzNightWalkerZz]

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn : $n2^{n}-1$ chia hết cho $p$

Xét $n=mp+a=>n2^n\equiv (mp.2^{mp+a}\equiv a.2^{m(p-1)+a+m}\equiv a.2^{a+m}$ (mod $p$)

Ta thấy ở đây $m,a$ có thể là các số bất kì nên ta chỉ việc chọn $m,a$ sao cho $a.2^{a+m}\equiv 1$ (mod $p$)

Chọn $a=2^x=>2^{x+2^x+m}\equiv1$ (mod $p$)$=>x+2^x+m=k(p-1)$

Từ đây ta có thể chọn vô số giá trị $x,m,k$ thỏa mãn nên ta có điều phải chứng minh

[Nguyen Minh Hai]

Lời giải này là tồn tại ước nguyên tố lẻ mà đề bài lại bảo là có vô số số tự nhiên n cơ mà

Ở đây với mỗi giá trị $n$ thì $N$ đều có thể chia hết cho $p$ mà 

[Namthemaster1234]

Ở đây với mỗi giá trị $n$ thì $N$ đều có thể chia hết cho $p$ mà 

 

Cho một số $p$  nguyên tố cố định anh nhé.