Chủ đề này có 1 trả lời

[Near Ryuzaki]

Cho $u_1=2015; u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n^2}$

Tính $\lim\frac{u_n^3}{n}$

[nhungvienkimcuong]

Cho $u_1=2015; u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n^2}$

Tính $\lim\frac{u_n^3}{n}$

xin xét trường hợp ở dạng bài toán tổng quát hơn tí là $\left\{\begin{matrix} u_1=a(a>0)\\u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n^2} \end{matrix}\right.$

bài toán này là một bài toán quen thuộc và hiện có rất nhiều tài liệu nói về dạng này và sau những tài liệu mình đọc thì có $2$ cách chính như sau

$\blacksquare\ \text{Cách 1}$

ta sẽ chỉ ra rằng

$\boxed{\sqrt[3]{a^3+3(n-1)}\le u_n\le \sqrt[3]{a^3+3\left ( n-1+\frac{1}{a^3} \right )+\frac{1}{a^6}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{9}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}}$

thật vậy $\forall k\ge 1$ thì

$u_{k+1}^3=u_k^3+3+\frac{3}{u_k^2}+\frac{1}{u_k^6}\Rightarrow u_{k+1}^3>u_k^3+3\Rightarrow \sum_{k=1}^{n-1}u_{k+1}^3>\sum_{k=1}^{n-1}\left ( u_k^3+3 \right )$

$\Rightarrow u_n>\sqrt[3]{a^3+3(n-1)},\forall n\ge 2\Rightarrow u_n\ge \sqrt[3]{a^3+3(n-1)},\forall n\ge 1$

mặt khác

$u_{k+1}^3<u_k^3+3+\frac{3}{a^3+3(k-1)}+\frac{1}{\left ( a^3+3(k-1) \right )^2}<u_k^3+3+\frac{1}{k-1}+\frac{1}{9(k-1)^2}$

tới đây làm với $k=\overline{1,n-1}$ rồi cộng các vế ta được

$u_n\le \sqrt[3]{a^3+3\left ( n-1+\frac{1}{a^3} \right )+\frac{1}{a^6}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{9}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}$

tới đây sử dụng nguyên lý kẹp ta dễ dàng có được $\lim\frac{u_n^3}{n}=3$

$\blacksquare\ \text{Cách 2}$

Ta sử dụng một bài toán quen thuộc sau

$\boxed{\text{Cho dãy}\ (x_n)\ \text{thõa mãn}\ \lim(x_{n+1}-x_n)=a\\ \text{CMR}\ \lim\frac{x_n}{n}=a}$

dễ thấy dãy $(u_n)$ là dãy số tăng nên nếu dãy bị bị chặn trên thì hội tụ

giả sử $L=\lim u_n$ thì ta có $L=L+\frac{1}{L^2}$ mà điều trên vô lí nên dãy không bị chặn trên hay $\lim u_n=\infty$

Ta có

$\lim\left ( u_{n+1}^3-u_n^3 \right )=\lim\left ( 3+\frac{3}{u_n^3}+\frac{1}{u_n^6} \right )=3$

do đó theo bài toán phụ ta có được $\lim\frac{u_n^3}{n}=3$

vậy $\boxed{\lim\frac{u_n^3}{n}=3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 18-06-2015 - 07:26