Chứng minh rằng với mọi $x> \sqrt{2} , y>\sqrt{2}$, ta có:
$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4>x^2+y^2$
Chứng minh rằng với mọi $x> \sqrt{2} , y>\sqrt{2}$, ta có:
$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4>x^2+y^2$
Bài này rất hay!
Đầu tiên nhóm hết 2 nhóm vào 1 vế thôi
$x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{4}+y^{4}-x^{2}-y^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{2}(x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{2}-1)+y^{2}(y^{2}-xy+\frac{x^{2}}{2}-1)> 0$
$\Leftrightarrow x^{3}.(x-y)+y^{3}.(y-x)+x^{2}(\frac{y}{\sqrt{2}}-1)(\frac{y}{\sqrt{2}}+1)+y^{2}(\frac{x}{\sqrt{2}}-1)(\frac{x}{\sqrt{2}}+1)> 0$
Ta có: $x> \sqrt{2}; y> \sqrt{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}> 1;\frac{y}{\sqrt{2}}> 1$ Nên chỉ cần chứng minh $x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)> 0$ là xong.
Nhưng BĐT này luôn đúng
Thật vậy $x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)> 0\Leftrightarrow (x^{3}-y^{3})(x-y)> 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})> 0$
Vậy BĐT đã được chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 22-06-2015 - 20:53
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Bất đẳng thức cần cm tương đương với$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy-1)> x^{2}y^{2}$
Nhận thấy $x^{2}+y^{2}\geq 2xy;x^{2}+y^{2}-xy-1\geq xy-1\Rightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy-1)\geq 2xy(xy-1)$
Do đó ta cần cm $2xy(xy-1)>x^{2}y^{2}\Leftrightarrow 2(xy-1)> xy\Leftrightarrow xy>2$ (luôn đúng với $x;y> \sqrt{2}$)
Vậy bất đẳng thức đã được cm
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh