Chủ đề này có 2 trả lời

[quan1234]

Chứng minh rằng với mọi $x> \sqrt{2} , y>\sqrt{2}$, ta có:

$x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4>x^2+y^2$

[phamquanglam]

Bài này rất hay!

Đầu tiên nhóm hết 2 nhóm vào 1 vế thôi

$x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{4}+y^{4}-x^{2}-y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{2}(x^{2}-xy+\frac{y^{2}}{2}-1)+y^{2}(y^{2}-xy+\frac{x^{2}}{2}-1)> 0$

$\Leftrightarrow x^{3}.(x-y)+y^{3}.(y-x)+x^{2}(\frac{y}{\sqrt{2}}-1)(\frac{y}{\sqrt{2}}+1)+y^{2}(\frac{x}{\sqrt{2}}-1)(\frac{x}{\sqrt{2}}+1)> 0$

Ta có: $x> \sqrt{2}; y> \sqrt{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{2}}> 1;\frac{y}{\sqrt{2}}> 1$ Nên chỉ cần chứng minh $x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)> 0$ là xong.

Nhưng BĐT này luôn đúng

Thật vậy $x^{3}(x-y)+y^{3}(y-x)> 0\Leftrightarrow (x^{3}-y^{3})(x-y)> 0\Leftrightarrow (x-y)^{2}(x^{2}-xy+y^{2})> 0$

Vậy BĐT đã được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 22-06-2015 - 20:53

[hoctrocuaHolmes]

Bất đẳng thức cần cm tương đương với$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy-1)> x^{2}y^{2}$

Nhận thấy $x^{2}+y^{2}\geq 2xy;x^{2}+y^{2}-xy-1\geq xy-1\Rightarrow (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-xy-1)\geq 2xy(xy-1)$

Do đó ta cần cm $2xy(xy-1)>x^{2}y^{2}\Leftrightarrow 2(xy-1)> xy\Leftrightarrow xy>2$ (luôn đúng với $x;y> \sqrt{2}$)

Vậy bất đẳng thức đã được cm