Chủ đề này có 9 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Cho $a,b,c\neq 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $A=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq \frac{9}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi grigoriperelmanlapdi: 26-06-2015 - 09:15

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $a,b,c\neq 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $A=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq \frac{9}{10}$

Trường hợp 1: $min{a,b,c} \geq -0,75$

Khi đó: $\frac{36a+3}{50}-\frac{a}{a^2+1}=\frac{(4a+3)(3a-1)^2}{50(a^2+1)}\geq 0$

=>$\sum \frac{a}{a^2+1}\leq\sum \frac{36a+3}{50}=\frac{36}{50}(a+b+c)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}$

Trường hợp 2: $min{a,b,c}<-0,75$

Giả sử $c<-0,75$ thì

Áp dụng AM-GM có: $\frac{b}{b^2+1}\leq \frac{1}{2}$

Cần chứng minh $\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{2}{5}$

Nếu $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $a \geq 2$ thì đây là điều hiển nhiên

Xét trường hợp: $2\geq a\geq \frac{1}{2}$ 

Tương tự ta cũng đưa bài toán về thành $2\geq b\geq \frac{1}{2}$

Và do đó $\frac{-3}{4}>c=1-a-b\geq -3$

Thay vào ta được: $\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{-3}{10}$

Do đó: $\sum \frac{a}{a^2+1}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}<\frac{9}{10}$

[grigoriperelmanlapdi]

Trường hợp 1: $min{a,b,c} \geq -0,75$

Khi đó: $\frac{36a+3}{50}$$-\frac{a}{a^2+1}=\frac{(4a+3)(3a-1)^2}{50(a^2+1)}\geq 0$

=>$\sum \frac{a}{a^2+1}\leq\sum \frac{36a+3}{50}=\frac{36}{50}(a+b+c)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}$

Trường hợp 2: $min{a,b,c}<-0,75$

Giả sử $c<-0,75$ thì

Áp dụng AM-GM có: $\frac{b}{b^2+1}\leq \frac{1}{2}$

Cần chứng minh $\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{2}{5}$

Nếu $a\leq \frac{1}{2}$ hoặc $a \geq 2$ thì đây là điều hiển nhiên

Xét trường hợp: $2\geq a\geq \frac{1}{2}$ 

Tương tự ta cũng đưa bài toán về thành $2\geq b\geq \frac{1}{2}$

Và do đó $\frac{-3}{4}>c=1-a-b\geq -3$

Thay vào ta được: $\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{-3}{10}$

Do đó: $\sum \frac{a}{a^2+1}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}<\frac{9}{10}$

mình chưa hiểu mấy chỗ này. Ở đâu bạn có thế

[Hoang Nhat Tuan]

mình chưa hiểu mấy chỗ này. Ở đâu bạn có thế

Vì mình sử dụng tiếp tuyến để ra được $\frac{36a+3}{50}\geq \frac{a}{a^2+1}$

Từ đó mình biến đổi tương đương thành $\frac{(4a+3)(3a-1)^2}{50(a^2+1)}\geq 0$

Mà để cho nó $\geq 0$ thì $a\geq -0,75$ nên mình ép cho min{a,b,c} $\geq -0,75$ đó bạn

[grigoriperelmanlapdi]

Vì mình sử dụng tiếp tuyến để ra được $\frac{36a+3}{50}\geq \frac{a}{a^2+1}$

Từ đó mình biến đổi tương đương thành $\frac{(4a+3)(3a-1)^2}{50(a^2+1)}\geq 0$

Mà để cho nó $\geq 0$ thì $a\geq -0,75$ nên mình ép cho min{a,b,c} $\geq -0,75$

Sử dụng tiếp tuyến là gì vậy bạn.Mình không biết phương pháp này,bạn có tài liệu về nó không cho mình mượn

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c\neq 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $A=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq \frac{9}{10}$

Nếu không muốn chia trường hợp bạn có thể làm theo cách sau đây

http://diendantoanho...acy1y2fracz1z2/

[Hoang Nhat Tuan]

Sử dụng tiếp tuyến là gì vậy bạn.Mình không biết phương pháp này,bạn có tài liệu về nó không cho mình mượn

Nói là tiếp tuyến vậy thôi chứ thực ra nó cũng rất dễ hiểu nhé, ví dụ với cả bài này luôn nhé:

Ta sẽ chọn một hằng số k sao cho $\frac{a}{a^2+1}=k(a-\frac{1}{3})+\frac{3}{10}$

($\frac{3}{10}$ ở đây là do thay $a=\frac{1}{3}$ vào dẫn đến $\frac{a}{a^2+1}=\frac{3}{10}$)

Do đó $k=(\frac{a}{a^2+1}-\frac{3}{10}):(a-\frac{1}{3})$

Chú ý rút gọn $a-\frac{1}{3}$ cho cả tử và mẫu rồi thay $a=\frac{1}{3}$ vào ta thu được $k=\frac{36}{50}$

Nhớ biến đổi tương đương để thử lại nữa là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 26-06-2015 - 10:43

[grigoriperelmanlapdi]

Nói là tiếp tuyến vậy thôi chứ thực ra nó cũng rất dễ hiểu nhé, ví dụ với cả bài này luôn nhé:

Ta sẽ chọn một hằng số k sao cho $\frac{a}{a^2+1}=k(a-\frac{1}{3})+\frac{3}{10}$

 

Cho mình hỏi bài toán nào cũng phải chia tương tự thế này phải không?

Với lại phương pháp tiếp tuyến áp dụng cho những BĐT như thế nào vậy bạn

[Dinh Xuan Hung]

Cho mình hỏi bài toán nào cũng phải chia tương tự thế này phải không?

Với lại phương pháp tiếp tuyến áp dụng cho những BĐT như thế nào vậy bạn

Cái Phương pháp này còn được gọi là phương pháp $U.C.T$ (Kĩ thuật hệ số không xác định) 

Bạn tự rút ra kinh nghiệm cho mình nhé vì phương pháp này rất dễ

[dogsteven]

Cho mình hỏi bài toán nào cũng phải chia tương tự thế này phải không?

Với lại phương pháp tiếp tuyến áp dụng cho những BĐT như thế nào vậy bạn

Phương pháp tiếp tuyến (có thể gọi là HFT hay UCT) có thể dùng ở các bất đẳng thức dạng tổng hàm.

Không phải bài toán nào cũng chia như vậy mà là "khó chỗ nào chia chỗ đó"