Chủ đề này có 9 trả lời

[nmuyen2001]

1/ Cho các số thực a, b, x, y. Chứng minh $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(x+y)^{2}}$

2/ Cho các số thực dương a, b. Chứng minh $\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

Giải chỉ dùng phép biến đổi tương đương càng tốt ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmuyen2001: 27-06-2015 - 21:51

[marcoreus101]

1/ Bình phương 2 vế rồi biến đổi tương đương là ra $(ay-bx)^2\geq 0$

[ngocanhnguyen10]

1/ Cho các số thực a, b, x, y. Chứng minh $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(x+y)^{2}}$               _(*)

Từ _(*) $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}+x^{2}+y^{2}\geq (a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

         $\Leftrightarrow (a+b)^{2}+(x+y)^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}-2(ab+xy)\geq (a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

         $\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}-2(ab+xy)\geq 0$

Đến đây theo Bunhia là ra rồi

[phamquanglam]

 

2/ Cho các số thực dương a, b. Chứng minh $\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

Bài này ta có: $(a+2b)(\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b})^{2}$ (Theo Bu-nhi-a-cop-ski)

Giờ chứng minh: $\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Quy đồng ta có: $\frac{a^{2}+ab+4b^{2}}{2(ab+b^{2})}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a^{2}+ab+4b^{2}\geq 3ab+3b^{2}\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Nên $(a+2b)(\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b})^{2}\geq (\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 27-06-2015 - 20:24

[nmuyen2001]

1/ Bình phương 2 vế rồi biến đổi tương đương là ra $(ay-bx)^2\geq 0$

Biến đổi thế nào ra được $(ay-bx)^{2}\geq 0$ vậy bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmuyen2001: 27-06-2015 - 21:34

[phamquanglam]

Biến đổi thế nào ra được $(ay-bx)^{2}\geq 0$ vậy bạn?

Hình như đầu bài bị nhầm em à!!!!!!!!!!!!!!!!! 

Phải là $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+x)^{2}+(b+y)^{2}}$

[phamquanglam]

Từ _(*) $\Rightarrow a^{2}+b^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}+x^{2}+y^{2}\geq (a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

         $\Leftrightarrow (a+b)^{2}+(x+y)^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}-2(ab+xy)\geq (a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

         $\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}-2(ab+xy)\geq 0$

Đến đây theo Bunhia là ra rồi

Không ra được đâu em!!!!!!!!!!!! 

[nmuyen2001]

Hình như đầu bài bị nhầm em à!!!!!!!!!!!!!!!!! 

Phải là $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+x)^{2}+(b+y)^{2}}$

em cũng không biết nữa, bài này trong cuốn "Phương pháp giải toán BĐT và cực trị dành cho hs 8, 9" mà sách không có ghi bài giải (em copy ra đúng). Vậy nếu đề bài đúng thì có cách nào chứng minh được không ạ?

[phamquanglam]

em cũng không biết nữa, bài này trong cuốn "Phương pháp giải toán BĐT và cực trị dành cho hs 8, 9" mà sách không có ghi bài giải (em copy ra đúng). Vậy nếu đề bài đúng thì có cách nào chứng minh được không ạ?

Nếu để bình thường rất dễ nhận dạng ra đây là bài toán nhỏ của Mincopski

Còn nếu chứng mình đề bài kia thì dữ kiện không đủ để chứng minh em à 

[nmuyen2001]

Bài này ta có: $(a+2b)(\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b})^{2}$ (Theo Bu-nhi-a-cop-ski)

Giờ chứng minh: $\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Quy đồng ta có: $\frac{a^{2}+ab+4b^{2}}{2(ab+b^{2})}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow a^{2}+ab+4b^{2}\geq 3ab+3b^{2}\Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Nên $(a+2b)(\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b})^{2}\geq (\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}\Rightarrow \frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

có cách nào chỉ dùng biến đổi tương đương không ạ?