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[cuongdan]

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(x+z)$

[ngocanhnguyen10]

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(x+z)$      ₍₁₎

Ta có ₍₁₎ $\Leftrightarrow \frac{y(x+z)}{xz}+\frac{1}{y}(x+z)\leq (\frac{1}{x}+\frac{1}{z})(x+z)$

               $\Leftrightarrow \frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{z}$

               $\frac{y^{2}+xz}{xyz}\leq \frac{x+z}{xz}$

               $\Leftrightarrow \frac{y^{2}+xz}{y}\leq x+z$

               $\Leftrightarrow \frac{y^{2}+xz}{y}-x-z\leq 0$

               $\Rightarrow y^{2}+xz-xy-yz\leq 0$          (vì y>0)

               $\Leftrightarrow (y-z)(y-x)\leq 0$          ₍₂₎

  Mà $\left\{\begin{matrix} y-z\geq 0 & & \\ y-x\leq 0& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (y-z)(y-x)\leq 0$

$\Rightarrow$ ₍₂₎ luôn đúng   (đpcm)