Chủ đề này có 6 trả lời

[duyanh782014]

Cho x,y là những số nguyên dương thay đổi thoả mãn đk x+y=201. Hãy tìm GTLN,GTNN của biểu thức P=$x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

[Nhok Tung]

MIN : Ta có $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)=201^{3}-603xy$

P = $201^{3}-601xy\geq 201^{3}-601\frac{(x+y)^{2}}{4}=201^{3}-\frac{601.201^{2}}{4}$

[vda2000]

MIN : Ta có $x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)=201^{3}-603xy$

P = $201^{3}-601xy\geq 201^{3}-601\frac{(x+y)^{2}}{4}=201^{3}-\frac{601.201^{2}}{4}$

Không được rồi, đẳng thức xảy ra tại: $x=y=100,5$ không là số nguyên dương, loại

Thế này: $P=201^3-601xy$ như bạn làm.

Để tìm GTLN,GTNN của $P$ tương đương với việc ta tìm GTNN,GTLN của $xy$

Ta có: $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=201^2-4xy$

Như thế, để tìm GTNN,GTLN của $xy$, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của $A=(x-y)^2=(|x-y|)^2$ hay cần tìm GTLN,GTNN của $|x-y|$

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\geq y$ thì: $x\geq 101$; $y\leq 100$

Khi đó: $|x-y|=x-y=x+y-2y=201-2y$

Ta có: $1\leq y\leq 100$ nên: $1\leq|x-y|=201-2y\leq 199$

Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị

[tranhai0247]

dấu = xảy ra khi $x=100; y=101$ or ngược lại

[kunkon2901]

 

Không mất tính tổng quát giả sử: $x\geq y$ thì: $x\geq 101$; $y\leq 100$

 

sao chỗ đó lại có điều kiện x,y như vậy ạ

[vda2000]

sao chỗ đó lại có điều kiện x,y như vậy ạ

$x\geq y$ suy ra: $2x\geq x+y\geq 2y$ hay: $2x\geq 101\geq 2y$ nên: $x\geq 100.5\geq y$

Do $x,y$ nguyên dương suy ra được: $x\geq 101$; $y\leq 100$

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y là những số nguyên dương thay đổi thoả mãn đk x+y=201. Hãy tìm GTLN,GTNN của biểu thức P=$x(x^{2}+y)+y(y^{2}+x)$

Ta có:$P=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=201^3-601xy$

Đặt $S=xy=x(201-x)$

Dễ có:$1\leq x\leq 200$

$S=200-(x-1)(x-200)\geq 0\Rightarrow S_{min}=200$

Không mất tính TQ giả sử $x\leq y\Rightarrow x\leq 100$

$S=100.101-(x-100)(x-101)\leq 100.101\Rightarrow S_{max}=100.101$