Chủ đề này có 10 trả lời

[Hoang Tung 126]

 Bài toán: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ .Tìm GTLN của :

 

             $P=(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)$

[binhnhaukhong]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ không âm và $a+b+c=k$ ta có:

 

$(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\leq \frac{k^9}{256}$

[Hoang Tung 126]

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ không âm và $a+b+c=k$ ta có:

 

$(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)\leq \frac{k^9}{256}$

Mời bạn chứng minh

[tap lam toan]

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Khi đó 
$$P\leq \left [ \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{3}+\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{3} \right ]\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{3}\left ( a+\frac{c}{2} \right )^{3}\leq ...\leq 3.\left ( \frac{(a+b+c)^{2}}{4} \right )^{4}=\frac{3^{9}}{4^{4}}$$

[tranductucr1]

Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Khi đó 
$$P\leq \left [ \left ( a+\frac{c}{2} \right )^{3}+\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{3} \right ]\left ( b+\frac{c}{2} \right )^{3}\left ( a+\frac{c}{2} \right )^{3}\leq ...\leq 3.\left ( \frac{(a+b+c)^{2}}{4} \right )^{4}=\frac{3^{9}}{4^{4}}$$

cho mình hỏi cách đặt như thế có phương pháp nào không

[binhnhaukhong]

Mời bạn chứng minh

Đây là kết quả tổng quát thôi mà bạn.Mà nó chứng minh cũng không khác với bài toán cụ thể lắm.

 

Ta hoàn toàn có thể giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó đặt: $t=b+c,s=bc,s\in \left [ 0,\frac{t^2}{4} \right ]$. Ta có $a=3-t$.

 

Viết lại $P$ một chút.

 

$P=[a^6+a^3(b^3+c^3)+b^3c^3](b^3+c^3)=(a^6+a^3t^3-3a^3ts+s^3)(t^3-3ts)$

 

Lấy đạo hàm theo $s$ ta có:

 

$f'(s)=(3s^2-3a^3t)(t^3-3ts)-3t(a^6+a^3t^3-3a^3ts+s^3)$

 

Áp dụng AM-GM ta có $a^6+a^3t^3+s^3\geq 3a^3ts$

 

Và theo điều giả sử thì $(3s^2-3a^3t)(t^3-3ts)=3t(s^2-a^3t)(t^2-3s)\leq 0$ (do $a\geq \frac{b+c}{2}=\frac{t}{2}$)

 

Tóm lại ta có $f(s)$ nghịch biến nên $f(s)\leq f(0)=t^3(a^6+a^3t^3)=t^3(3-t)^3[t^3+(3-t)^3]=f(t)$

 

Giờ khảo sát $f(t)$ với $t\in \left [ 0,2 \right ]$ là ra. Xin phép không làm nốt!

[binhnhaukhong]

Bài tương tự theo tư tưởng dồn biến:

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=2$.Tìm GTLN của:

 

$P=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)$

[dogsteven]

Bài tương tự theo tư tưởng dồn biến:

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=2$.Tìm GTLN của:

 

$P=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)$

 

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$. Khi đó $b^2+c^2\leqslant b^2+bc\leqslant b^2+bc+\dfrac{c^2}{2}=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2$

Tương tự ta có $a^2+c^2\leqslant \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2$ và $a^2+b^2\leqslant \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2+\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2$

Do đó ta chỉ cần tìm GTLN của $P$ khi $c=0$, khi đó $P=a^2b^2(a^2+b^2)=\dfrac{ab}{2}.2ab.(a^2+b^2)\leqslant \dfrac{ab(a+b)^4}{8}\leqslant 2$

[binhnhaukhong]

Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$. Khi đó $b^2+c^2\leqslant b^2+bc\leqslant b^2+bc+\dfrac{c^2}{2}=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2$

Tương tự ta có $a^2+c^2\leqslant \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2$ và $a^2+b^2\leqslant \left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2+\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2$

Do đó ta chỉ cần tìm GTLN của $P$ khi $c=0$, khi đó $P=a^2b^2(a^2+b^2)=\dfrac{ab}{2}.2ab.(a^2+b^2)\leqslant \dfrac{ab(a+b)^4}{8}\leqslant 2$

Đoạn còn lại mà xử lí bằng AM-GM thì đẹp hơn đấy em 

[dogsteven]

Đoạn còn lại mà xử lí bằng AM-GM thì đẹp hơn đấy em 

Đoạn nào vậy anh.

[binhnhaukhong]

Đoạn nào vậy anh.

Mà thôi đặt ẩn thì nó cũng làm giống thế kia

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 29-06-2015 - 08:04