Chủ đề này có 3 trả lời

[binhnhaukhong]

Với $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh rằng:

 

$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\geq abc(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$

[dogsteven]

Hồi đó có đọc qua bài này và nhớ mãi cách giải bá đạo sau:

Xét tam thức $f(x)=(a^2+b^2+c^2)x^2-2(a^2b+b^2c+c^2a)x+abc(a+b+c)$

Giả sử $a=\text{median}\{b,c\}$ thì $f(a)=a(a-b)(a-c)(a+c-b)\leqslant 0$

Mà $\lim\limits_{x\to +\infty}=+\infty$, do đó tồn tại $x_0$ để $f(x_0)=0$

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 01-07-2015 - 20:50

[binhnhaukhong]

Hồi đó có đọc qua bài này và nhớ mãi cách giải bá đạo sau:

Xét tam thức $f(x)=(a^2+b^2+c^2)x^2-2(a^2b+b^2c+c^2a)x+abc(a+b+c)$

Giả sử $a=\text{median}\{b,c\}$ thì $f(a)=a(a-b)(a-c)(a+c-b)\leqslant 0$

Mà $\lim\limits_{x\to +\infty}=+\infty$, do đó tồn tại $x_0$ để $f(x_0)=0$

Ta có điều phải chứng minh.

Em thử dùng phép thế Ravi xem

[binhnhaukhong]

Xin một lời giải bằng AM-GM 

 

Giả sử rằng $a$ là số nằm giữa $b$ và $c$. Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 

$abc(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq \left [ \frac{bc(a+b+c)+a(a^2+b^2+c^2)}{2} \right ]^2$

 

Khi đó ta cần chứng minh rằng:

 

$2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq bc(a+b+c)+a(a^2+b^2+c^2)$

 

Mà ta có $VT-VP=-(c+a-b)(a-b)(a-c)$

 

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác và theo điều giả sử thì BĐT trên đúng.