Chủ đề này có 1 trả lời

[luukhaiuy]

Cho x,y,z thỏa mãn x²+y²+z²$\leq$3y Tìm min  của

P=$\frac{1}{(x+1)^2}$+$\frac{4}{(y+2)^2}$+$\frac{8}{(z+3)^2}$

 

Dinh Xuan Hung:Lần sau bạn viết TV nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 01-07-2015 - 11:53

[Love Inequalities]

cho x,y,z thoa man x²+y²+z²$\leq$3y tim min cua

P=$\frac{1}{(x+1)^2}$+$\frac{4}{(y+2)^2}$+$\frac{8}{(z+3)^2}$

Bổ đề: Cho $a, b$ là các số thực dương, khi đó ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}$$

Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )^2\geq \frac{1}{2}.\left ( \frac{4}{a+b} \right )^2 =\frac{8}{\left ( a+b \right )^2}$

 $P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left ( y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$

$\ =\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{1}{\left ( \dfrac{y}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$

$\ \geq \frac{8}{\left ( x+\dfrac{y}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}\geq \frac{64}{\left ( x+\dfrac{y}{2}+z+5 \right )^2}$

Theo giả thiết ta có:

$$3y\geq x^2+y^2+z^2$$

$$\Leftrightarrow 3y+6\geq x^2+1+y^2+4+z^2+1\geq 2x+4y+2z$$

$$\Leftrightarrow x+\frac{y}{2}+z\leq 3$$

$$\Rightarrow P\geq \frac{64}{\left ( x+\dfrac{y}{2}+z+5 \right )^2}\geq 1$$

Vậy GTNN của $P$ là 1 khi $x=z=1, y=2$