1 reply to this topic

[the man]

Cho  $a,b,c$  là các số thực không âm thỏa mãn  $x+y+z=2$

Tìm GTLN của biểu thức:     $\sqrt{x^3y+y^3z+z^3x}+\sqrt{xy^3+yz^3+zx^3}$

Edited by the man, 01-07-2015 - 17:11.

[nangcuong8e]

Cho  $a,b,c$  là các số thực không âm thỏa mãn  $x+y+z=2$

Tìm GTLN của biểu thức:     $\sqrt{x^3y+y^3z+z^3x}+\sqrt{xy^3+yz^3+zx^3}$

Ta có: $A = \sqrt{x^3y+y^3z+z^3x} +\sqrt{xy^3+yz^3+zx^3} \leq \sqrt{2[xy(x^2+y^2) +yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)]}$

$\Rightarrow A \leq \sqrt{2[xy(x^2+y^2+z^2) +yz(x^2+y^2+z^2) +zx(x^2+y^2+z^2)]} =\sqrt{2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)]}$

 Do đó ta cần chứng minh $(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2) \leq 2$. Đặt $xy+yz+zx =t$ thì ta có:

$t(4-2t) \leq 2 \Leftrightarrow -2t^2+4t-2 \leq \Leftrightarrow -2(t-1)^2 \leq 0$ (đúng)

 Từ đó, có được $A \leq 2$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=1; z=0$ và các hoán vị.

Edited by nangcuong8e, 01-07-2015 - 18:06.