48. Cho a; b; c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{5}{2}$
49. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$
50. Cho $a;b;c\in (0;1)$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}<1$
51. Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
$\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3$
52. Cho các số thực dương a; b; c; x; y; z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
$ax+by+cz+2\sqrt{(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)}\leq a+b+c$
53. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
54. Cho a; b; c $\geq$ 0. Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}}+\sqrt{b^{4}+b^{2}c^{2}+c^{4}}+\sqrt{c^{4}+c^{2}a^{2}+a^{4}}\geq a\sqrt{2a^{2}+bc}+b\sqrt{2b^{2}+ca}+c\sqrt{2c^{2}+ab}$
55. Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện abc = 2. Chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$
56. Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
$5(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})+1$
57. Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc\leq 1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$
58. Cho a; b; c là các số thự dương thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$
59. Cho a; b; c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}$
60. Cho x; y; z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Chứng minh rằng:
$xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{y^{2}+1}+\sqrt{z^{2}+1}$
P/s: Mọi người còn bài CM bđt nào thì post lên để cùng thảo luận nhé!