Chủ đề này có 2 trả lời

[NhatTruong2405]

Chứng minh rằng $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})$

[hoanglong2k]

Chứng minh rằng $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}})$

 Áp dụng Chebyshev và Cauchy-Schwarz :

$$\sum \frac{a^2}{b+c}=\sum \frac{a^3}{ab+ac}\geq \frac{1}{3}\sum a^3.\sum \frac{1}{ab+ac}\geq \frac{3\sum a^3}{2\sum ab}\geq \frac{3\sum a^3}{2\sum a^2}$$

  

[binhnhaukhong]

Ta có kết quả tương tự:

 

Với $a,b,c$ thực dương thì BĐT sau là đúng:

 

$\frac{a^2}{a+9b+9c}+\frac{b^2}{b+9c+9a}+\frac{c^2}{c+9a+9b}\geq \frac{3}{19}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$