Chủ đề này có 4 trả lời

[NhatTruong2405]

Cho 3 so $a,b,c>0$ 

Chung minh rang $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

[an1712]

Cho 3 so $a,b,c>0$ 

Chung minh rang $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

http://diendantoanho...ác-nước/page-23

đã có tại đây

[vda2000]

Cho 3 so $a,b,c>0$ 

Chung minh rang $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

Khai triển hết ra, được thế này

Như vậy, cần chỉ ra bất đẳng thức sau đúng:

$a^4b^2+b^4c^2+c^4a^2\geq a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3$

Viết lại: $(a^2b)^2+(b^2c)^2+(c^2a)^2\geq a^2b.c^2a+a^2b.b^2c+b^2c.c^2a$

Đúng theo bất đẳng thức quen thuộc: $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$

[Nguyen Minh Hai]

Cho 3 so $a,b,c>0$ 

Chung minh rang $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

BĐT cần chứng minh tương đương với

$\sum \left (\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{\sum a^2+\sum ab} \right ) \geq 1-\frac{a^2+b^2+c^2}{\sum a^2+\sum ab}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2c(a+b+c)}{(a^2+ab+b^2)(\sum a^2+\sum ab)} \geq \frac{ab+bc+ca}{\sum a^2 + \sum ab}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2c}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

 

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$\sum \frac{a^2c}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{\sum c(a^2+ab+b^2)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

 

Từ đó có đpcm. Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 04-07-2015 - 21:51

[Lee LOng]

Đặt $\frac{b}{a}=\frac{xy}{z^{2}}; \frac{c}{b}=\frac{yz}{x^{2}}; \frac{a}{c}=\frac{xz}{y^{2}}$

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum \frac{z^{4}}{z^{4}+xyz^{2}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{4}+y^{4}+z^{4}+xyz(x+y+z)+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 04-07-2015 - 22:10