Chủ đề này có 10 trả lời

[NhatTruong2405]

Cho x,y,x>0

Chung minh rang $\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(x+y)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

[Hoang Nhat Tuan]

Cho x,y,x>0

Chung minh rang $\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(x+y)^{3}}\geq \frac{1}{3}$

Đặt:$m=\frac{y}{x};n=\frac{z}{y};p=\frac{x}{z}$ và $mnp=1$

Khi đó BĐT trở thành:

$\sum \frac{1}{1+(1+m)^3}\geq \frac{1}{3}$ (1)

Đặt:$m=\frac{bc}{a^2};n=\frac{ca}{b^2};p=\frac{ab}{c^2}$

(1)<=>$\sum \frac{a^6}{a^6+(a^2+bc)^3}\geq \frac{1}{3}$

Lại có:$\sum \frac{a^6}{a^6+(a^2+bc)^3}\geq \frac{(\sum a^3)^2}{\sum (a^6+(a^2+bc)^2)}$

Cần chứng minh:$3(\sum a^3)^2\geq \sum (a^6+(a^2+bc)^3)$

$<=>\sum a^6+5\sum a^3b^3\geq 3abc\sum a^3+9a^2b^2c^2$

Áp dụng AM-GM thì:$\sum (a^6+2a^3b^3)\geq \sum 3a^4bc$

Và $3\sum a^3b^3\geq 9a^2b^2c^2$

Từ đó => ĐPCM

[NhatTruong2405]

Đặt:$m=\frac{y}{x};n=\frac{z}{y};p=\frac{x}{z}$ và $mnp=1$

Khi đó BĐT trở thành:

$\sum \frac{1}{1+(1+m)^3}\geq \frac{1}{3}$ (1)

Đặt:$m=\frac{bc}{a^2};n=\frac{ca}{b^2};p=\frac{ab}{c^2}$

(1)<=>$\sum \frac{a^6}{a^6+(a^2+bc)^3}\geq \frac{1}{3}$

Lại có:$\sum \frac{a^6}{a^6+(a^2+bc)^3}\geq \frac{(\sum a^3)^2}{\sum (a^6+(a^2+bc)^2)}$

Cần chứng minh:$3(\sum a^3)^2\geq \sum (a^6+(a^2+bc)^3)$

$<=>\sum a^6+5\sum a^3b^3\geq 3abc\sum a^3+9a^2b^2c^2$

Áp dụng AM-GM thì:$\sum (a^6+2a^3b^3)\geq \sum 3a^4bc$

Và $3\sum a^3b^3\geq 9a^2b^2c^2$

Từ đó => ĐPCM

Khuc do la ban khai trien ra a

[Hoang Nhat Tuan]

Khuc do la ban khai trien ra a

Khúc đó là khai triển từ:$3(\sum a^3)^2\geq \sum (a^6+(a^2+bc)^3)$ đó bạn

[NhatTruong2405]

Khúc đó là khai triển từ:$3(\sum a^3)^2\geq \sum (a^6+(a^2+bc)^3)$ đó bạn

Hay qua,khong ngo la khai trien ra duoc Cam on ban

[hoanglong2k]

 Nhờ mod xoá ... 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 05-07-2015 - 09:01

[NhatTruong2405]

 Áp dụng Cauchy-Schwarz ta được :

 $\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(x+y)^{3}}=\sum \frac{x^4}{2x^4+3x^2y(x+y)+xy^3}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{2\sum x^4+3\sum x^2y(x+y)+\sum xy^3}$

 Ta cần chứng minh 

 $\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{2\sum x^4+3\sum x^2y(x+y)+\sum xy^3}\geq \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow \sum x^4+3\sum x^2y^2\geq \sum x^3z+3\sum x^3y$

Rồi sao nữa bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 05-07-2015 - 00:00

[dogsteven]

 Áp dụng Cauchy-Schwarz ta được :

 $\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(x+y)^{3}}=\sum \frac{x^4}{2x^4+3x^2y(x+y)+xy^3}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{2\sum x^4+3\sum x^2y(x+y)+\sum xy^3}$

 Ta cần chứng minh 

 $\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{2\sum x^4+3\sum x^2y(x+y)+\sum xy^3}\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum x^4+3\sum x^2y^2\geq \sum x^3z+3\sum x^3y$

 Luôn đúng theo Muirhead vì $(4,0,0)\succ (3,1,0)$

Bất đẳng thức cuối không thể viết lại dưới dạng trung bình loại $[a_1, a_2,...,a_n]$ để dùng Muirhead được vì nó không là bất đẳng thức đối xứng. Vậy không thể dùng Muirhead

[Nguyen Minh Hai]

 Áp dụng Cauchy-Schwarz ta được :

 $\sum \frac{x^{3}}{x^{3}+(x+y)^{3}}=\sum \frac{x^4}{2x^4+3x^2y(x+y)+xy^3}\geq \frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{2\sum x^4+3\sum x^2y(x+y)+\sum xy^3}$

 Ta cần chứng minh 

 $\frac{\left ( x^2+y^2+z^2 \right )^2}{2\sum x^4+3\sum x^2y(x+y)+\sum xy^3}\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum x^4+3\sum x^2y^2\geq \sum x^3z+3\sum x^3y$

 Luôn đúng theo Muirhead vì $(4,0,0)\succ (3,1,0)$

Có thể nó đúng theo Muirhead của Long nhưng theo $Vinacal$ $570ES$ $PLUS$ $II$ của t thì BĐT đó sai 

Spoiler

Làm sao để LATEX có màu đỏ được nhỉ?   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 05-07-2015 - 09:39

[dogsteven]

Có thể nó đúng theo Muirhead của Long nhưng theo $Vinacal$ $570ES$ $PLUS$ $II$ của t thì BĐT đó sai 

[\spoiler] Làm sao để LATEX có màu đỏ được nhỉ?   [\spoiler]

Mình latex được nè: $\dfrac{\color{green}{hahaha}}{\color{red}{1}+\color{blue}{2}+\color{yellow}{3}}$

P.s. Nhìn qua dòng chữ khi load latex là biết gõ.

[hoanglong2k]

Có thể nó đúng theo Muirhead của Long nhưng theo $Vinacal$ $570ES$ $PLUS$ $II$ của t thì BĐT đó sai 

[\spoiler] Làm sao để LATEX có màu đỏ được nhỉ?   [\spoiler]

 Spoiler còn chưa ẩn được kìa :v

 Thay dấu "\" bằng xấu "/" đi  đã :v

 Tau thay màu được nè :v

 $\mathrm{\color{red}{L}\color{yellow}{o}\color{Cyan}{n}\color{Orange}{g}}$ Đẹp trai 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 05-07-2015 - 09:11