Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại vô số $m\in N*$ thỏa mãn $2^{m}-2\vdots m$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Hide On Mask

Hide On Mask

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Bài 1: Cho $k;n;a;b\geq 2$ là một số nguyên dương . Ta có công thức tổng quát $n^{k}-1 \vdots (n-1)^{2}$ khi và chỉ khi $k\vdots (n-1)$. Chứng minh rằng với mọi $(k;n)=(a;b)$ . Khi đó ta cho $k=a;n=b$ thì hoàn toàn có công thức tương tự công thức tổng quát 

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại vô số $m\in N*$ thỏa mãn $2^{m}-2\vdots m$ 

 


I learned that each mistake was probably a reflection of something that I was (or others were) doing wrong, so if I could figure out what that was, I could learn how to be more effective. I learned that wrestling with my problems, mistakes, and weaknesses was the training that strengthened me. Also, I learned that it was the pain of this wrestling that made me and those around me appreciate our successes.

 


#2
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bài 1: Cho $k;n;a;b\geq 2$ là một số nguyên dương . Ta có công thức tổng quát $n^{k}-1 \vdots (n-1)^{2}$ khi và chỉ khi $k\vdots (n-1)$. Chứng minh rằng với mọi $(k;n)=(a;b)$ . Khi đó ta cho $k=a;n=b$ thì hoàn toàn có công thức tương tự công thức tổng quát 

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại vô số $m\in N*$ thỏa mãn $2^{m}-2\vdots m$ 

Lời giải bài 2 : 

Ta sẽ chứng minh với $p$ là số nguyên tố và $p>3$ thì số $m$ có dạng $m=\frac{2^{2p}-1}{3}$ sẽ thỏa mãn $2^m-1 \vdots m$.

 

$\blacklozenge$ Chứng minh :

Ta có $m-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên$p-1$ chẵn, ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó : $n-1\vdots 2p$ 

Từ đó suy ra : $2^{m-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn $m$ thì : $2^{2p}-1\vdots m$ nên suy ra: $2^{m-1}-1\vdots m$

tức là : $2^m-2 \vdots m$ 

Vậy tồn tại vố số $m$ thỏa mãn đề bài

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 08-07-2015 - 15:49

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#3
Hide On Mask

Hide On Mask

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Lời giải bài 2 : 

Ta sẽ chứng minh với $p$ là số nguyên tố và $p>3$ thì số $m$ có dạng $m=\frac{2^{2p}-1}{3}$ sẽ thỏa mãn $2^m-1 \vdots m$.

 

$\blacklozenge$ Chứng minh :

Ta có $m-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên$p-1$ chẵn, ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó : $n-1\vdots 2p$ 

Từ đó suy ra : $2^{m-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn $m$ thì : $2^{2p}-1\vdots m$ nên suy ra: $2^{m-1}-1\vdots m$

tức là : $2^m-1 \vdots m$ 

Vậy tồn tại vố số $m$ thỏa mãn đề bài

 

Spoiler

Lời giải hình như có chút nhầm lẫn thì phải

1. Đây là $-2$

2. Số $m$ có nhiều dạng chứ đâu có nhất định một dạng cụ thể 


I learned that each mistake was probably a reflection of something that I was (or others were) doing wrong, so if I could figure out what that was, I could learn how to be more effective. I learned that wrestling with my problems, mistakes, and weaknesses was the training that strengthened me. Also, I learned that it was the pain of this wrestling that made me and those around me appreciate our successes.

 


#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 2. $m=p$ với $p$ nguyên tố thì thoả mãn đề.


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Lời giải hình như có chút nhầm lẫn thì phải

1. Đây là $-2$

2. Số $m$ có nhiều dạng chứ đâu có nhất định một dạng cụ thể 

1. Do sơ ý vội quá mình viết nhầm 

2. Đúng là số $m$ có thể có nhiều dạng nhưng miễn sao nó có 1 dạng và vô số là được


$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#6
Hide On Mask

Hide On Mask

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Có bạn nào dùng qui nạp được không ?


I learned that each mistake was probably a reflection of something that I was (or others were) doing wrong, so if I could figure out what that was, I could learn how to be more effective. I learned that wrestling with my problems, mistakes, and weaknesses was the training that strengthened me. Also, I learned that it was the pain of this wrestling that made me and those around me appreciate our successes.

 


#7
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Bài 1: Cho $k;n;a;b\geq 2$ là một số nguyên dương . Ta có công thức tổng quát $n^{k}-1 \vdots (n-1)^{2}$ khi và chỉ khi $k\vdots (n-1)$. Chứng minh rằng với mọi $(k;n)=(a;b)$ . Khi đó ta cho $k=a;n=b$ thì hoàn toàn có công thức tương tự công thức tổng quát 

Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại vô số $m\in N*$ thỏa mãn $2^{m}-2\vdots m$ 

Bài 1: Đề hơi khó hiểu nên k chém đc, nhìn giống khẳng định hơn câu hỏi

 

Có bạn nào dùng qui nạp được không ?

Bài 2:Xét dãy số: $x_0=5,x_{n+1}=2^{x_n}-1$ với $n \geq 0$

Ta chứng minh các số hạng trong dãy này đều có tính chất: $2^{x_n}-2 \vdots x_n$

+) Với $n=0$ đúng

+) Giả sử điều này đúng với mọi số bé hơn $k+1$,ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$

$2^{x_{k+1}}-2=2(2^{x_{k+1}-1}-1)=2(2^{2^{x_k}-2}-1)=2((2^{x_k})^{\frac{2^{x_k}-2}{x_k}}-1) \vdots 2^{x_k}-1=x_{k+1}$

Theo quy nạp ta có đpcm

Dễ thấy dãy số trên là dãy tăng ngặt nên có vô số số hạng, tức là có vô số số hạng thỏa mãn tính chất chung: $2^m-2 \vdots m$ 


NgọaLong

#8
Hide On Mask

Hide On Mask

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Bài 1: Đề hơi khó hiểu nên k chém đc, nhìn giống khẳng định hơn câu hỏi

 

Bài 2:Xét dãy số: $x_0=5,x_{n+1}=2^{x_n}-1$ với $n \geq 0$

Ta chứng minh các số hạng trong dãy này đều có tính chất: $2^{x_n}-2 \vdots x_n$

+) Với $n=0$ đúng

+) Giả sử điều này đúng với mọi số bé hơn $k+1$,ta chứng minh nó cũng đúng với $n=k+1$

$2^{x_{k+1}}-2=2(2^{x_{k+1}-1}-1)=2(2^{2^{x_k}-2}-1)=2((2^{x_k})^{\frac{2^{x_k}-2}{x_k}}-1) \vdots 2^{x_k}-1=x_{k+1}$

Theo quy nạp ta có đpcm

Dễ thấy dãy số trên là dãy tăng ngặt nên có vô số số hạng, tức là có vô số số hạng thỏa mãn tính chất chung: $2^m-2 \vdots m$ 

Em cũng có quyển sách đó đây , nhưng em đang bí phần qui nạp  :D  :D anh làm rõ phần qui nạp đi


I learned that each mistake was probably a reflection of something that I was (or others were) doing wrong, so if I could figure out what that was, I could learn how to be more effective. I learned that wrestling with my problems, mistakes, and weaknesses was the training that strengthened me. Also, I learned that it was the pain of this wrestling that made me and those around me appreciate our successes.

 


#9
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Em cũng có quyển sách đó đây , nhưng em đang bí phần qui nạp  :D  :D anh làm rõ phần qui nạp đi

Thế này chưa đủ rõ nữa hả e, hoặc nếu không e đọc thêm về dãy số để cảm nhận tốt hơn, chứ không phải ngẫu nhiên đi xét cái dãy đó đâu


NgọaLong

#10
Hide On Mask

Hide On Mask

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 23 Bài viết

Thế này chưa đủ rõ nữa hả e, hoặc nếu không e đọc thêm về dãy số để cảm nhận tốt hơn, chứ không phải ngẫu nhiên đi xét cái dãy đó đâu

Nếu đi thi thì trình bày sao anh ?


I learned that each mistake was probably a reflection of something that I was (or others were) doing wrong, so if I could figure out what that was, I could learn how to be more effective. I learned that wrestling with my problems, mistakes, and weaknesses was the training that strengthened me. Also, I learned that it was the pain of this wrestling that made me and those around me appreciate our successes.

 


#11
Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết

Nếu đi thi thì trình bày sao anh ?

A nghĩ như trên là ổn r
NgọaLong




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh