Bài 1: Cho $k;n;a;b\geq 2$ là một số nguyên dương . Ta có công thức tổng quát $n^{k}-1 \vdots (n-1)^{2}$ khi và chỉ khi $k\vdots (n-1)$. Chứng minh rằng với mọi $(k;n)=(a;b)$ . Khi đó ta cho $k=a;n=b$ thì hoàn toàn có công thức tương tự công thức tổng quát
Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại vô số $m\in N*$ thỏa mãn $2^{m}-2\vdots m$
Lời giải bài 2 :
Ta sẽ chứng minh với $p$ là số nguyên tố và $p>3$ thì số $m$ có dạng $m=\frac{2^{2p}-1}{3}$ sẽ thỏa mãn $2^m-1 \vdots m$.
$\blacklozenge$ Chứng minh :
Ta có $m-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$
Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên$p-1$ chẵn, ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod3 )$
Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$
Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$
Do đó : $n-1\vdots 2p$
Từ đó suy ra : $2^{m-1}-1\vdots 2^{2p}-1$
Mà theo cách chọn $m$ thì : $2^{2p}-1\vdots m$ nên suy ra: $2^{m-1}-1\vdots m$
tức là : $2^m-2 \vdots m$
Vậy tồn tại vố số $m$ thỏa mãn đề bài
Edited by Belphegor Varia, 08-07-2015 - 15:49.
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word